Teilaufgabe 1a

Folgende Tabelle gibt die Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren innerhalb der Bevölkerung Deutschlands wieder:

Tabelle: Verteilung der Blutgruppen und Rhesusfaktoren

In einem Krankenhaus spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut. Im Folgenden soll angenommen werden, dass diese 25 Personen eine zufällige Auswahl aus der Bevölkerung darstellen. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn der Spender die Blutgruppe \(A\) haben.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Binomialverteilung

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der Spender, die Blutgruppe \(A\) haben"

 

Analyse der Angabe:

 

„...spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut."

\(\Longrightarrow \quad n = 25\)

 

„Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn der Spender..."

\(\Longrightarrow \quad X = 10\)

 

„...die Blutgruppe \(A\) haben."

\(\Longrightarrow \quad p = P(A)\)

 

Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) bestimmen:

 

Der Tabelle entnimmt man:

\[P(A \cap Rh+) = 37\,\%\]

\[P(A \cap RH-) = 6\,\%\]

 

\[P(A) = P(A \cap Rh+) + P(A \cap Rh-) = 0{,}37 + 0{,}06 = 0{,}43\]

 

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(25; 0{,}43)\) binomialverteilt.

Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}43\). Die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}43}^{25}(X = 10)\) muss errechnet werden.

 

Anwenden der Formel von Bernoulli:

\[\begin{align*} P_{0{,}43}^{25}(X = 10) &= B(25; 0{,}43; 10) \\[0.8em] &= \binom{25}{10} \cdot 0{,}43^{10} \cdot (1 - 0{,}43)^{25 - 10} \\[0.8em] &= \binom{25}{10} \cdot 0{,}43^{10} \cdot 0{,}57^{15} \\[0.8em] &\approx 0{,}154 = 15{,}4\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(25;0,43) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit B(25;0,43;10)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(25;0{,}43)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}43}^{25}(X = 10) = B(25;0{,}43;10)\)

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