Teilaufgabe 1c

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Binomialverteilung

Zufallsgröße \(X\colon\enspace\)Anzahl geeigneter Spender für einen Patienten mit der Blutgruppe \(B\) und dem Rhesusfaktor \(Rh-\)

Analyse der Angabe:

„Für einenen Patienten mit der Blutgruppe \(B\) und dem Rhesusfaktor \(Rh-\) wird Spenderblut benötigt."

\(\Longrightarrow \quad p = P(0 \cap Rh-) + P(B \cap Rh-)\) (siehe Tabelle)

„...mindestens eine für diesen Patienten geeignete Blutspende erhält."

\(\Longrightarrow \quad X \geq 1\)

„...damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 %..."

\(\Longrightarrow \quad P_p^n(X \geq 1) > 0{,}95\)

Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) berechnen:

Der Tabelle aus Teilaufgabe 1a (Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren) entnimmt man die Wahrscheinlichkeiten \(P(0 \cap RH-)\) und \(P(B \cap Rh-)\).

\[P(0 \cap Rh-) = 6\,\%\]

\[P(B \cap Rh-) = 2\,\%\]

\[\begin{align*}p &= P(0 \cap Rh-) + P(B \cap Rh-) \\[0.8em] &= 0{,}06 + 0{,}02 \\[0.8em] &= 0{,}08\end{align*}\]

Betrachten des Gegenereignisses:

\[\begin{align*} P_{0{,}08}^n(X \geq 1) &> 0{,}95 & &|\;\text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}08}^n(X = 0) &> 0{,}95 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}08}^n(X = 0) &> -0{,}05 & &| \cdot (-1)\quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}08}^n(X = 0) &< 0{,}05 & &|\;\text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{0{,}08^0}_{1} \cdot (1 - 0{,}08)^{n - 0} &< 0{,}05 \\[0.8em] 0{,}92^n &< 0{,}05 & &|\; \ln (\dots) \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}92 &< \ln 0{,}05 & &| : \ln 0{,}92 \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}92} \\[0.8em] n &\gtrapprox 35{,}93 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad n \geq 36\]

Mindestens 36 zufällig ausgewählte Personen müssen Blut spenden, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens eine geeignete Blutspende erhält.