Teilaufgabe 2c

Lösung zu Teilaufgabe 2c

\(S\colon\enspace\)„Die Stoffwechselstörung liegt vor."

\(T\colon\enspace\)„Das Testergebnis ist positiv."

Wahrscheinlichkeit \(P(S \cap \overline{T})\) berechnen:

Baumdiagramm für die Ereignisse \(S\) und \(T\)

Anwenden der Knotenregel:

\[\begin{align*}P_S(\overline{T}) &= 1 - P_S(T) \\[0.8em] &= 1 - 0{,}995 \\[0.8em] &= 0{,}005 \end{align*}\]

Anwenden der 1. Pfadregel:

\[\begin{align*}P(S \cap \overline{T}) &= P(S) \cdot P_S(\overline{T}) \\[0.8em] &= 0{,}00074 \cdot 0{,}005 \\[0.8em] &= 3{,}7 \cdot 10^{-6} \\[0.8em] &= \frac{3{,}7}{1\,\text{Mio}}\end{align*}\]

Das Ergebnis entspricht der relativen Häufigkeit \(h_{1\,\text{Mio}}\) bezogen auf eine Million getesteter Kinder \((n = 10^6 = 1\,\text{Mio})\).

Absolute Häufigkeit \(H_{1\,\text{Mio}}\) berechnen:

\[h_{1\,\text{Mio}} = \frac{H_{1\,\text{Mio}}}{1\,\text{Mio}} \quad \Longleftrightarrow \quad H_{1\,\text{Mio}} = h_{1\,\text{Mio}} \cdot 1\,\text{Mio}\]

\[H_{1\,\text{Mio}} = \frac{3{,}7}{1\,\text{Mio}} \cdot 1\,\text{Mio} = 3{,}7\]

Pro Million getesteter Kinder sind im Mittel 3,7 KInder zu erwarten, bei denen die Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.