Teilaufgabe 2c

Im Rahmen eines Screenings wird eine sehr große Anzahl zufällig ausgewählter neugeborener Kinder getestet. Ermitteln Sie die pro Million getesteter KInder im Mittel zu erwartende Anzahl derjenigen Kinder, bei denen die Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

\(S\colon\enspace\)„Die Stoffwechselstörung liegt vor."

\(T\colon\enspace\)„Das Testergebnis ist positiv."

 

Wahrscheinlichkeit \(P(S \cap \overline{T})\) berechnen:

Baumdiagramm für die Ereignisse S und T

Baumdiagramm für die Ereignisse \(S\) und \(T\)

Anwenden der Knotenregel:

 

\[\begin{align*}P_S(\overline{T}) &= 1 - P_S(T) \\[0.8em] &= 1 - 0{,}995 \\[0.8em] &= 0{,}005 \end{align*}\]

 

Anwenden der 1. Pfadregel:

 

\[\begin{align*}P(S \cap \overline{T}) &= P(S) \cdot P_S(\overline{T}) \\[0.8em] &= 0{,}00074 \cdot 0{,}005 \\[0.8em] &= 3{,}7 \cdot 10^{-6} \\[0.8em] &= \frac{3{,}7}{1\,\text{Mio}}\end{align*}\]

 

Das Ergebnis entspricht der relativen Häufigkeit \(h_{1\,\text{Mio}}\) bezogen auf eine Million getesteter Kinder \((n = 10^6 = 1\,\text{Mio})\).

Absolute Häufigkeit \(H_{1\,\text{Mio}}\) berechnen:

 

\[h_{1\,\text{Mio}} = \frac{H_{1\,\text{Mio}}}{1\,\text{Mio}} \quad \Longleftrightarrow \quad H_{1\,\text{Mio}} = h_{1\,\text{Mio}} \cdot 1\,\text{Mio}\]

 

\[H_{1\,\text{Mio}} = \frac{3{,}7}{1\,\text{Mio}} \cdot 1\,\text{Mio} = 3{,}7\]

 

Pro Million getesteter Kinder sind im Mittel 3,7 KInder zu erwarten, bei denen die Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b Teilaufgabe 3a »