Teilaufgabe 1a

In einer Großstadt steht die Wahl des Oberbürgermeisters bevor. 12 % der Wahlberechtigten sind Jungwähler, d.h. Personen im Alter von 18 bis 24 Jahren. Vor Beginn des Wahlkampfs wird eine repräsentative Umfrage unter den Wahlberechtigten durchgeführt. Der Umfrage zufolge haben sich 44 % der befragten Wahlberechtigten bereits für einen Kandidaten entschieden. Jeder Siebte derjenigen Befragten, die sich noch nicht für einen Kandidaten entschieden haben, ist Jungwähler.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(J\): „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person ist Jungwähler."

\(K\): „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hat sich bereits für einen Kandidaten entschieden."

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\(J\): „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person ist Jungwähler."

\(K\): „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hat sich bereits für einen Kandidaten entschieden."

 

Analyse der Angabe:

 

„12 % der Wahlberechtigten sind Jungwähler."

\(\Longrightarrow \quad P(J) = 0{,}12\)

 

„Der Umfrage zufolge haben sich 44 % der Wahlberechtigten bereits für einen Kandidaten entschieden."

\(\Longrightarrow \quad P(K) = 0{,}44\)

 

„Jeder siebte derjenigen Befragten, die sich noch nicht für einen Kandidaten entschieden haben, ist Jungwähler."

\(\displaystyle \Longrightarrow \quad P_{\overline{K}}(J) = \frac{1}{7}\)

 

Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse \(J\) und \(K\):

 

\[P(J) = 0{,}12\]

\[P(K) = 0{,}44\]

  \(\displaystyle K\) \(\displaystyle \overline{K}\)  
\(\displaystyle J\)     \(\displaystyle 0{,}12\)
\(\displaystyle \overline{J}\)      
  \(\displaystyle 0{,}44\)    \(\displaystyle 1\)

 

Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse berechnen:

 

\[P(\overline{J}) = 1 - P(J) = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\]

\[P(\overline{K}) = 1 - P(K) = 1 - 0{,}44 = 0{,}56\]

  \(\displaystyle K\) \(\displaystyle \overline{K}\)  
\(\displaystyle J\)     \(\displaystyle 0{,}12\)
\(\displaystyle \overline{J}\)      \(\bf{0{,}88}\)
  \(\displaystyle 0{,}44\) \(\bf{0{,}56}\)  \(\displaystyle 1\)

 

Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen der Ereignisse berechnen:

\[\begin{align*}P_{\overline{K}}(J) &= \frac{P(J \cap \overline{K})}{P(\overline{K})} \\[0.8em] \Longleftrightarrow \quad P(J \cap \overline{K}) &= P_{\overline{K}}(J) \cdot P(\overline{K}) \\[0.8em] &= \frac{1}{7} \cdot 0{,}56 \\[0.8em] &= 0{,}08 \end{align*}\]

  \(\displaystyle K\) \(\displaystyle \overline{K}\)  
\(\displaystyle J\)    \(\bf{0{,}08}\) \(\displaystyle 0{,}12\)
\(\displaystyle \overline{J}\)      \(\displaystyle 0{,}88\)
  \(\displaystyle 0{,}44\) \(\displaystyle 0{,}56\)  \(\displaystyle 1\)

 

\[\begin{align*} P(\overline{J} \cap \overline{K}) &= P(\overline{K}) - P(J \cap \overline{K}) \\[0.8em] &= 0{,}56 - 0{,}08 \\[0.8em] &= 0{,}48 \end{align*}\]

  \(\displaystyle K\) \(\displaystyle \overline{K}\)  
\(\displaystyle J\)   \(\displaystyle 0{,}08\) \(\displaystyle 0{,}12\)
\(\displaystyle \overline{J}\)    \(\bf{0{,}48}\)  \(\displaystyle 0{,}88\)
  \(\displaystyle 0{,}44\) \(\displaystyle 0{,}56\)  \(\displaystyle 1\)

 

\[\begin{align*} P(J \cap K) &= P(J) - P(J \cap \overline{K}) \\[0.8em] &= 0{,}12 - 0{,}08 \\[0.8em] &= 0{,}04 \end{align*}\]

  \(\displaystyle K\) \(\displaystyle \overline{K}\)  
\(\displaystyle J\)  \(\bf{0{,}04}\) \(\displaystyle 0{,}08\) \(\displaystyle 0{,}12\)
\(\displaystyle \overline{J}\)    \(\displaystyle 0{,}48\)  \(\displaystyle 0{,}88\)
  \(\displaystyle 0{,}44\) \(\displaystyle 0{,}56\)  \(\displaystyle 1\)

 

\[\begin{align*} P(\overline{J} \cap K) &= P(\overline{J}) - P(\overline{J} \cap \overline{K}) \\[0.8em] &= 0{,}88 - 0{,}48 \\[0.8em] &= 0{,}40 \end{align*}\]

oder

\[\begin{align*} P(\overline{J} \cap K) &= P(K) - P(J \cap K) \\[0.8em] &= 0{,}44 - 0{,}04 \\[0.8em] &= 0{,}40 \end{align*}\]

  \(\displaystyle K\) \(\displaystyle \overline{K}\)  
\(\displaystyle J\)  \(\displaystyle 0{,}04\) \(\displaystyle 0{,}08\) \(\displaystyle 0{,}12\)
\(\displaystyle \overline{J}\)  \(\bf{0{,}40}\)  \(\displaystyle 0{,}48\)  \(\displaystyle 0{,}88\)
  \(\displaystyle 0{,}44\) \(\displaystyle 0{,}56\)  \(\displaystyle 1\)
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