Teilaufgabe 2a

Der Umfrage zufolge hätte der Kandidat der Partei A etwa 50 % aller Stimmen erhalten, wenn die Wahl zum Zeitpunkt der Befragung stattgefunden hätte. Ein Erfolg im ersten Wahlgang, für den mehr als 50 % aller Stimmen erforderlich sind, ist demnach fraglich. Deshalb rät die von der Partei A eingesetzte Wahlkampfberaterin in der Endphase des Wahlkampfs zu einer zusätzlichen Kampagne. Der Schatzmeister der Partei A möchte die hohen Kosten, die mit einer zusätzlichen Kampagne verbunden wären, jedoch möglichst vermeiden.

Um zu einer Entscheidung über die Durchführung einer zusätzlichen Kampagne zu gelangen, soll die Nullhypothese „Der Kandidat der Partei A würde gegenwärtig höchstens 50 % aller Stimmen erhalten." mithilfe einer Stichprobe von 200 Wahlberechtigten auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Signifikanztest

 

Zufallsgröße \(Z\colon\enspace\)Anzahl der Befragten, die den Kandidaten der Partei A wählen

 

Analyse der Angabe:

 

„... soll die Nullhypothese ... höchstens 50 % aller Stimmen ..."

\(\Longrightarrow \quad H_0\,\colon\; p \leq 0{,}5\)

 

„... mithilfe einer Stichprobe von 200 Wahlberechtigten ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Stichprobenumfang \(n = 200\)

 

„... auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet weden."

\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\)

 

Mit der Wahl der Nullhypothese \(H_0\,\colon\; p \leq 0{,}5\) soll die Irrtumswahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zusatzkampagne abgelehnt wird, obwohl der Kandidat der Partei A tasächlich höchstens 50 % aller Stimmen erhalten würde, eingeschränkt werden (siehe auch Teilaufgabe 2b).

\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}05\)

 

Rechsseitiger Signifikanztest

Nullhypothese \(H_0\,\colon\; p \leq 0{,}5\)

Gegenhypothese \(H_1\,\colon\; p > 0{,}5\)

 

Annahmebereich von \(H_0\,\colon\; A = \{0; 1; \dots; k \}\)

Ablehnungsbereich von \(H_0\,\colon\; \overline{A} = \{k + 1; \dots; 200\}\)

 

Bedingung für den Fehler 1.Art formulieren:

 

\[P_{0{,}5}^{200}(Z \geq k + 1) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}05\]

 

Betrachten des Gegenereignisses:

\[\begin{align*} P_{0{,}5}^{200}(Z \geq k + 1) &\leq 0{,}05 \\[0.8em] 1 - P_{0{,}5}^{200}(Z \leq k) &\leq 0{,}05 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}5}^{200}(Z \leq k) &\leq -0{,}95 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}5}^{200}(Z \leq k) &\geq 0{,}95 \end{align*}\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[P^{200}_{0{,}5} (Z \leq k) = F^{200}_{0{,}5} (k) = \sum \limits_{i \; = \; 0}^{k} B(200; 0{,}5; i) \enspace \overset{!}{\geq} \enspace 0{,}95\]

 

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 112 \quad \left( F^{200}_{0{,}5} (112) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}96158 \right)\]

 

Entscheidungsregel formulieren:

 

Annahmebereich von \(H_0\,\colon\; A = \{0; 1; \dots; 112 \}\)

Ablehnungsbereich von \(H_0\,\colon\; \overline{A} = \{113; \dots; 200\}\)

 

Wenn höchstens 112 der 200 Befragten für den Kandidaten der Partei A stimmen, wird die zusätzliche Kampagne durchgeführt.

 

Rechtsseitiger Signifikanztest der Nullhypothese H₀: p₀ ≤ 0,5 zum Signifikanzniveau α = 0,05 und der Stichprobenlänge n = 200

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 2b »