Mathematik Abitur Bayern 2014 A Analysis 1 - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \, \colon x \mapsto \frac{x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R^+ \, \backslash \{1\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\).

(5 BE)

Teilaufgabe 2a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte  Funktion \(f\)  mit \(f(x) = e^x \cdot \left( 2x + x^2 \right)\).

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).

(2 BE)

Teilaufgabe 2b

Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = x^2 \cdot e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1) = 2e\) gilt.

(3 BE)

Teilaufgabe 3a

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{a,c} \, \colon x \mapsto \sin (ax) + c\) mit \(a,c \in \mathbb R^+_0\).

Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für \(a\) und einen möglichen Wert für \(c\) so an, dass die zugehörige Funktion \(g_{a,c}\) diese Eigenschaft besitzt.

α) Die Funktion\(g_{a,c}\) hat die Wertemenge \([0;2]\).

β) Die Funktion \(g_{a,c}\) hat im Intervall \([0;\pi]\) genau drei Nullstellen.

(3 BE)

Teilaufgabe 3b

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von \(a\), welche Werte die Ableitung von \(g_{a,c}\) annehmen kann.

(2 BE) 

Teilaufgabe 4a

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abbildung zu Teilaufgabe 4a 

Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).

(2 BE)

Teilaufgabe 4b

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

(3 BE)