Mathematik Abitur Bayern 2014 A Analysis 2 - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe 1a

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \sin x\) durch Spiegelung an der y-Achse hervor.

(1 BE)

Teilaufgabe 1b

Die Funktion \(h\) hat den Wertebereich \([1;3]\).

(1 BE)

Teilaufgabe 1c

Die Funktion \(k\) besitzt die Periode \(\pi\).

(1 BE) 

Teilaufgabe 2a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte  Funktion \(f\)  mit \(f(x) = e^x \cdot \left( 2x + x^2 \right)\).

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).

(2 BE)

Teilaufgabe 2b

Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = x^2 \cdot e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1) = 2e\) gilt.

(3 BE)

Teilaufgabe 3

Der Graph einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \, \colon \mapsto g(x)\) besitzt für \(-5 \leq x \leq 5\) zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur zweiten Ableitungsfunktion \(g''\) von \(g\) gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Graph I zu Teilaufgabe 3
Graph II zu Teilaufgabe 3
Graph III zu Teilaufgabe 3

(2 BE)

Teilaufgabe 4

In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

  • Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.

  • Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen \(G_f\) der Funktion \(f \, \colon x \mapsto -\ln x\) mit \(0 < x < 1\).

Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.

Abbildung 1 zu Teilaufgabe 4Abb. 1

Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

(5 BE)

Teilaufgabe 5a

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abbildung 2 zu Teilaufgabe 5aAbb. 2 

Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).

(2 BE)

Teilaufgabe 5b

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

(3 BE)