Teilaufgabe 4

In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

  • Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.

  • Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen \(G_f\) der Funktion \(f \, \colon x \mapsto -\ln x\) mit \(0 < x < 1\).

Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.

Abbildung 1 zu Teilaufgabe 4Abb. 1

Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4

 

\[f(x) = -\ln x \,; \quad 0 < x < 1\]

 

Flächeninhalt \(A\) der Rechtecke in Abhängigkeit von \(x\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} A(x) &= x \cdot f(x) \\[0.8em] &= x \cdot (-\ln x) \\[0.8em] &= - x \cdot \ln x \end{align*}\]

 

Notwendige Bedingung für maximalen Flächeninhalt:

 

\[A'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

Erste Ableitung \(A'\) bilden:

 

\[A(x) = - x \cdot \ln x\]

\[\begin{align*}A'(x) &= - 1 \cdot \ln x + (-x) \cdot \frac{1}{x} \\[0.8em] &= -\ln x - 1 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} A'(x) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad  -\ln x - 1 &= 0 & &| + \ln{x} \\[0.8em] -1 &= \ln{x} & &| \; a^x = b \enspace \Longleftrightarrow \enspace x = \log_{a}{b} \\[0.8em] e^{-1} &= x \\[0.8em] \frac{1}{e} &= x \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Für \(\displaystyle x = \frac{1}{e}\) ist der Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks extremal.

 

Art des Extremums nachweisen:

\[A'(x) = - \ln x - 1\]

\[A''(x) = -\frac{1}{x}\]

 

\[A''({\textstyle \frac{1}{e}}) = -\frac{1}{\frac{1}{e}} = -e\]

\[\left. \begin{align*} &A'({\textstyle \frac{1}{e}}) = 0 \\ &A''({\textstyle \frac{1}{e}}) < 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{lokales Maximum}\]

 

Mögliche Randextrema berücksichtigen:

Mit \(0 < x < 1\) ist die Funktion \(A(x)\) für \(x = 0\) und \(x = 1\) nicht definiert. Folglich kann es keine Randmaxima \(A(0)\) bzw. \(A(1)\) geben.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Für \(\displaystyle x = \frac{1}{e}\) ist der Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks maximal.

 

Seitenlängen des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt:

 

\[x = \frac{1}{e}\]

\[\begin{align*}f({\textstyle \frac{1}{e}}) &= -\ln({\textstyle \frac{1}{e}}) \\[0.8em] &= -\ln(e^{-1}) & &| \; \log_a(b^n) = n \cdot \log_a {b} \\[0.8em] &= (-1) \cdot (-\ln e) \\[0.8em] &= \ln e & &| \; \log_a{a} = 1 \\[0.8em] &= 1\end{align*}\]

 

Das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt hat die Seitenlängen \(\displaystyle \frac{1}{e}\) LE und 1 LE (Längeneinheit).

Graph der Funktion f und Graph der Funktion A für 0 < x < 1, Rechteck mit größtem Flächeninhalt

Graph der Funktion \(f\) und Graph der Funktion \(A\,\colon x \mapsto -x\cdot \ln x\) für \(0 < x < 1\), Rechteck mit größtem Flächeninhalt \(A_{\text{max}}\)

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3 Teilaufgabe 5a »