Teilaufgabe 5a

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abbildung 2 zu Teilaufgabe 5aAbb. 2 

Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 5a

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[F'(x) = f(x)\]

Verlauf des Graphen einer Stammfunktion F von für a ≦ x ≦ b

\(G_f\) hat im Intervall \([a;b]\) eine einfache Nullstelle \(x_N\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\). Somit ändert der Graph einer Stammfunktion \(F\) im Intervall \([a;b]\) das Monotonieverhalten von „streng monoton steigend" zu „streng monoton fallend" und besitzt an der Stelle \(x_N\) einen Hochpunkt \(HoP\,(x_N|F(x_N))\). 

\[\left. \begin{align*} &F'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < x_{N} \\ &F'(x_{N}) = 0 \\ &F'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > x_{N} \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt} \; HoP\,(x_{N}|F(x_{N}))\]

 

Anmerkung: Die Abbildung zeigt im Intervall \([a;b]\) den Graphen \(G_F\) der Stammfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_0^x f(x)\,dx\). Die Menge aller Stammfunktionen von \(f\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(x)\,dx\). Die Stammfunktionen unterscheiden sich im Wert einer additiven Integrationskonstante \(C\), welche den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) in \(y\)-Richtung verschiebt. Der Hochpunkt an der Stelle \(x_N\) kann somit in \(y\)-Richtung beliebig skizziert werden. Der charakteristische Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) bleibt derselbe (siehe Teilaufgabe 5b).

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