Teilaufgabe 1b

Die Punkte \(M\) und \(P\) sind die Mittelpunkte der Kanten \([AD]\) bzw. \([BC]\). Der Punkt \(K\,(0|y_K|4)\) liegt auf der Kante \([DF]\). Bestimmen Sie \(y_K\) so, dass das Dreieck \(KMP\) in \(M\) rechtwinklig ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Abbildung zu Teilaufgabe 1

Das Dreieck \(KMP\) ist in \(M\) rechtwinklig, wenn die Strecken \([MK]\) und \([MP]\) bzw. die Vektoren \(\overrightarrow{MK}\) und \(\overrightarrow{MP}\) zueinander senkrecht sind.

\[\overrightarrow{MK} \perp \overrightarrow{MP} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{MK} \circ \overrightarrow{MP} = 0\]

 

Vektoren \(\overrightarrow{M}\) und \(\overrightarrow{P}\) berechnen:

\[\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}\right) = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{D} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{P} = \frac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

Koordinate \(y_{K}\) berechnen:

\[\begin{align*} \overrightarrow{MK} \circ \overrightarrow{MP} &= 0 \\[0.8em] (\overrightarrow{K} - \overrightarrow{M}) \circ (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{M}) &= 0 \\[0.8em] \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ y_{K} \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \circ \left[ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 0 \\ y_{K} \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot 4 + y_{K} \cdot 4 + 2 \cdot (-2) &= 0 \\[0.8em] 4y_{K} - 4 &= 0 & &| +4 \\[0.8em] 4y_{K} &= 4 & &| : 4 \\[0.8em] y_{K} &= 1 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad K\,(0|1|4)\]

 

Das Dreieck \(KMP\) ist für \(y_{K} = 1\) in \(M\) rechtwinklig.

Prisma ABCDEF und rechtwinkliges Dreieck KMP

Gerades Prisma \(ABCDEF\), rechtwinkliges Dreieck \(KMP\)

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