Teilaufgabe 2b
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Die Kugel schneidet die Ebene \(E\), wenn der Abstand \(d\,(Z;E)\) des Kugelmittelpunkts \(Z\) von der Ebene \(E\) kleiner ist als der Radius der Kugel.
\[E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5\]
\[Z\,(1|6|3)\,, \quad r = 7\]
Abstand eines Punktes von einer Ebene
\[E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5 \quad \Longrightarrow \quad n_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\]
Betrag des Normalenvektors der Ebene \(E\):
\[\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\]
\[E^{HNF} \colon \; \frac{3x_2 + 4x_3 - 5}{5} = 0\]
Abstand \(d\,(Z;E)\) berechnen:
\[Z\,(1|6|3)\]
\[\begin{align*} d\,(Z;E) &= \left| \frac{3z_2 + 4z_3 - 5}{5} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 - 5}{5} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{18 + 12 -5}{5} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{25}{5} \right| \\[0.8em] &= 5 \end{align*}\]
\[r= 7\]
\[\Longrightarrow \quad d\,(Z;E) < r\]
Die Kugel mit dem Mittelpunkt \(Z\,(1|6|3)\) und dem Radius 7 schneidet die Ebene \(E\).