Teilaufgabe 2b

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt \(Z\,(1|6|3)\) und Radius 7 die Ebene \(E\) schneidet.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Die Kugel mit Mittelpunkt Z (1|6|3) und Radius 7 schneidet die Ebene E

Die Kugel schneidet die Ebene \(E\), wenn der Abstand \(d\,(Z;E)\) des Kugelmittelpunkts \(Z\) von der Ebene \(E\) kleiner ist als der Radius der Kugel.

 

\[E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5\]

\[Z\,(1|6|3)\,, \quad r = 7\]

 

Abstand eines Punktes von einer Ebene

\[E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5 \quad \Longrightarrow \quad n_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(E\):

\[\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\]

 

\[E^{HNF} \colon \; \frac{3x_2 + 4x_3 - 5}{5} = 0\]

 

Abstand \(d\,(Z;E)\) berechnen:

 

\[Z\,(1|6|3)\]

 

\[\begin{align*} d\,(Z;E) &= \left| \frac{3z_2 + 4z_3 - 5}{5} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 - 5}{5} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{18 + 12 -5}{5} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{25}{5} \right| \\[0.8em] &= 5 \end{align*}\]

 

\[r= 7\]

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(Z;E) < r\]

 

Die Kugel mit dem Mittelpunkt \(Z\,(1|6|3)\) und dem Radius 7 schneidet die Ebene \(E\).

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