Mathematik Abitur Bayern 2014 A Geometrie 2 - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe 1a

Die Vektoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\) spannen für jeden Wert \(t\) mit \(t \in \mathbb R \,\backslash\,\{0\}\) einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von \(t\).

Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind.

Abbildung zu Teilaufgabe 1

(2 BE)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

(3 BE)

Teilaufgabe 2a

Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt \(M\,(-3|2|7)\). Der Punkt \(P\,(3|4|4)\) liegt auf der Kugel.

Der Punkt \(Q\) liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke \([PQ]\) verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von \(Q\).

(3 BE)

Teilaufgabe 2b

Weisen Sie nach, dass die Kugel die \(x_1x_2\)-Ebene berührt.

(2 BE)