Teilaufgabe 1a

Die Vektoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\) spannen für jeden Wert \(t\) mit \(t \in \mathbb R \,\backslash\,\{0\}\) einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von \(t\).

Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind.

Abbildung zu Teilaufgabe 1

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\)

Die aufgespannten Körper sind Quader, wenn die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c_{t}}\) paarweise zueinander senkrecht sind.

\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\,, \quad \overrightarrow{c_{t}} \perp \overrightarrow{a}\,, \quad \overrightarrow{c_{t}} \perp \overrightarrow{b}\]

Abbildung zu Teilaufgabe 1

 

Nachweis, dass \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c_{t}}\) und \(\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c_{t}}\)  gilt:

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\]

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{c_{t}} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c_{t}}\]

\[\overrightarrow{b} \circ \overrightarrow{c_{t}} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c_{t}}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \\[0.8em] &= -2 + 2 = 0 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{c_{t}} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 2 \cdot 4t + 1 \cdot 2t + 2 \cdot (-5t) \\[0.8em] &= 8t + 2t - 10t = 0 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c_{t}}\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{b} \circ \overrightarrow{c_{t}} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \\[0.8em] &= (-1) \cdot 4t + 2 \cdot 2t + 0 \cdot (-5t) \\[0.8em] &= -4t + 4t = 0 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c_{t}}\]

 

Die von den Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c_{t}}\) aufgespannten Körper sind für jeden Wert \(t\) mit \(t \in \mathbb R \,\backslash \, \{0\}\) Quader.

 

Alternative

Anstatt wiederholt zu zeigen, dass das Skalarprodukt der Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c_{t}}\) paarweise gleich Null ist, ist es ebenso möglich, das Vektorprodukt in den Lösungsweg mit einzubeziehen.

Die Orthogonalität der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sei an dieser Stelle bereits mithilfe des Skalarprodukts nachgewiesen.

 

Nachweis, dass \(\overrightarrow{c_{t}} \perp \overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{c_{t}} \perp \overrightarrow{b}\) gilt:

Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) beschreibt einen Vektor, der senkrecht zu den Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist.

Es ist zu zeigen, dass \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{c_{t}}\) gilt, denn daraus folgt: \(\overrightarrow{c_{t}} \perp \overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{c_{t}} \perp \overrightarrow{b}\).

\[\begin{align*} \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 & \cdot & 0 & - & 2 & \cdot & 2 \\ 2 & \cdot & (-1) & - & 2 & \cdot & 0 \\ 2 & \cdot & 2 & - & 1 & \cdot & (-1) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= (-1) \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\overrightarrow{c_{t}} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}\,; \quad t \in \mathbb R \, \backslash \, \{0\}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{c_{t}}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{c_{t}} \perp \overrightarrow{a}\,, \enspace \overrightarrow{c_{t}} \perp \overrightarrow{b}\]

 

Die von den Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c_{t}}\) aufgespannten Körper sind für jeden Wert \(t\) mit \(t \in \mathbb R \,\backslash \, \{0\}\) Quader.

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