Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

1. Lösungsansatz: Elemetargeometrischer Ansatz

 

\(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\) 

 

\[V = G \cdot h\]

 

Mit der Grundfläche \(G = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert\) und der Höhe \(h = \vert \overrightarrow{c_{t}} \vert\) ergibt sich:

\[\begin{align*} V(t) &= \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert\ \cdot \vert \overrightarrow{c_{t}} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(4t)^2 + (2t)^2 + (-5t)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{45t^2} \\[0.8em] &= \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 45t^2} \\[0.8em] &= \sqrt{2025t^2} \\[0.8em] &= \pm 45t \end{align*}\]

 

Werte von \(t\) berechnen, für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt:

 

\[\begin{align*} \pm 45t &= 15 & &| : 45 \\[0.8em] \pm t &= \frac{15}{45} \\[0.8em] t &= \pm \frac{1}{3} \end{align*}\]

 

Für \(\displaystyle t = -\frac{1}{3}\) und \(\displaystyle t = \frac{1}{3}\) besitzt der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15.

 

2. Lösungsansatz: Spatprodukt anwenden

 

Die Volumina der Quader lassen sich mithilfe des Spatprodukts berechnen.

\[V(t) = \left| \bigg( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bigg) \circ \overrightarrow{c_{t}} \right|\]

 

\(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\)

\[\begin{align*} V(t) &= \left| \bigg( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bigg) \circ \overrightarrow{c_{t}} \right| \\[0.8em]  &= \left| \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 1 & \cdot & 0 & - & 2 & \cdot & 2 \\ 2 & \cdot & (-1) & - & 2 & \cdot & 0 \\ 2 & \cdot & 2 & - & 1 & \cdot & (-1) \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \vert (-4) \cdot 4t + (-2) \cdot 2t + 5 \cdot (-5t) \vert \\[0.8em] &= \vert -16t - 4t -25t \vert \\[0.8em] &= \vert -45t \vert \end{align*}\]

 

Werte von \(t\) berechnen, für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt:

 

\[\begin{align*}V(t) &= 15 \\[0.8em] \vert -45t \vert &= 15 & & t \in \mathbb R \, \backslash \, \{0\} \end{align*}\]

 

\[\vert -45t \vert = \begin{cases} -45t & \enspace t < 0 \\[0.8em] 45t & \enspace t > 0  \end{cases}\]

 

\[\begin{align*} \text{für} \enspace t &< 0: & & & \text{für} \enspace t &> 0: & & \\[0.8em] -45t &= 15 & &| : (-45) \quad & \quad 45t &= 15 & &| : 45 \\[0.8em] t &= -\frac{15}{45} & & & t &= \frac{15}{45} & & \\[0.8em] t &= -\frac{1}{3} & & & t &= \frac{1}{3} & &   \end{align*}\]

 

Für \(\displaystyle t = -\frac{1}{3}\) und \(\displaystyle t = \frac{1}{3}\) besitzt der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15.

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