Teilaufgabe 2b

Weisen Sie nach, dass die Kugel die \(x_1x_2\)-Ebene berührt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M berührt die x₁x₂-Ebene

Die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M\) berührt die \(x_1x_2\)-Ebene, wenn der Abstand \(d\,(M;x_1x_2\text{-Ebene})\) des Mittelpunktes \(M\) von der \(x_1x_2\).Ebene gleich dem Radius \(r\) der Kugel ist.

 

Der Abstand des Mittelpunkts \(M\) von der \(x_1x_2\text{-Ebene}\) ist gleich der \(x_3\)-Koordinate des Mittelpunkts \(M\).

\[M\,(-3|2|7)\]

\[\Longrightarrow \quad d\,(M;x_1x_2\text{-Ebene}) = x_{3_{M}} = 7\]

 

1. Lösungsansatz: Länge einer Strecke

\(M\,(-3|2|7)\), \(P\,(3|4|4)\)

 

\[\begin{align*} r &= \overline{MP} \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{MP} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{P} - \overrightarrow{M} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{49} = 7  \end{align*}\]

 

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(M;x_1x_2\text{-Ebene}) = r\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die Kugel berührt die \(x_1x_2\)-Ebene.

 

 

2. Lösungsansatz: Kugelgleichung

\[K\,\colon \, (x_1 + 3)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 7)^2 = r^2\]

\[P\,(3|4|4) \in K\]

 

\[\begin{align*}P \in K\,\colon \, (3 + 3)^2 + (4 - 2)^2 + (4 - 7)^2 &= r^2 \\[0.8em] 36 + 4 + 9 &= r^2 \\[0.8em] 49 &= r^2 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] 7 &= r \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(M;x_1x_2\text{-Ebene}) = r\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die Kugel berührt die \(x_1x_2\)-Ebene.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a