Teilaufgabe 2

Betrachtet wird eine Bernoullikette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20. Beschreiben Sie zu dieser Bernoullikette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}9^{20} + 20 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{19}\) angegeben wird.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

\[p = 0{,}9\,; \quad n = 20\]

 

Der Term \(0{,}9^{20} + 20 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{19}\) gibt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „MIndestens 19 Treffer" oder „Höchstens eine Niete" an.

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\) „Anzahl der Treffer"

\[\begin{align*}P(\text{„mindestens 19 Treffer"}) &= P_{0{,}9}^{20}(X \geq 19) \\[0.8em] &= \underbrace{P_{0{,}9}^{20}(X = 19)}_{\text{19 Treffer}} + \underbrace{P_{0{,}9}^{20}(X = 20)}_{\text{20 Treffer}} \\[0.8em] &= \underbrace{\binom{20}{19}}_{20} \cdot 0{,}9^{19} \cdot (1 - 0{,}9)^{20 - 19} + \underbrace{\binom{20}{20}}_{1} \cdot 0{,}9^{20} \cdot (1 - 0{,}9)^{20 - 20} \\[0.8em] &= 20 \cdot 0{,}9^{19} \cdot 0{,}1^1 + 1 \cdot 0{,}9^{20} \cdot 0{,}1^0 \\[0.8em] &= 20 \cdot 0{,}9^{19} \cdot 0{,}1 + 0{,}9^{20}\end{align*}\]

 

Anmerkung:

\[\binom{n}{k = n} = 1\,; \quad \binom{n}{k = n - 1} = n\,;\]

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