Teilaufgabe 2b

Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) abhängig sind.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Baumdiagramm zu Teilaufgabe 2

Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind abhängig, wenn gilt:

 

\[P(C \cap D) \neq P(C) \cdot P(D)\]

 

Dem Baumdiagramm entnimmt man die Schnittmengenwahrscheinlichkeiten \(P(C \cap D)\) und \(P(\overline{C}) \cap D\) sowie die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{C}(D)\):

 

\[P(C \cap D) = \frac{2}{5}\,; \quad P(\overline{C} \cap D) = \frac{1}{10}\,; \quad P_{C}(D) = \frac{3}{5}\]

 

Wahrscheinlichkeit \(P(D)\) berechnen (siehe auch Teilaufgabe 2a):

 

\[\begin{align*} P(D) &= P(C \cap D) + P(\overline{C} \cap D) \\[0.8em] &= \frac{2}{5} + \frac{1}{10} \\[0.8em] &= \frac{4}{10} + \frac{1}{10} \\[0.8em] &= \frac{1}{2}\end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeit \(P(C)\) berechnen:

\[\begin{align*} P_{C}(D) &= \frac{P(C \cap D)}{P(C)} & &| \; \cdot P(C) \enspace : P_{C}(D) \\[0.8em] P(C) &= \frac{P(C \cap D)}{P_{C}(D)} \\[0.8em] &= \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2}{3} \end{align*}\]

 

Abhängigkeit der Ereignisse \(C\) und \(D\) prüfen:

 

\[P(C \cap D) = \frac{2}{5}\]

\[P(C) \cdot P(D) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad P(C \cap D) &\neq P(C) \cdot P(D) \\[0.8em] \frac{2}{5} &\neq \frac{1}{3} \end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind abhängig.

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