Mathematik Abitur Bayern 2014 B Analysis 1 - Aufgaben mit Lösungen
Teilaufgabe 1a
Gegeben ist die Funktion \(f\,\colon x \mapsto 2 - \sqrt{12-2x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f = \; ]-\infty;6]\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und geben Sie \(f(6)\) an.
(5 BE)
Teilaufgabe 1b
Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) und geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f'\) an.
Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x \, \to \, 6} f'(x)\) und beschreiben Sie, welche Eigenschaft von \(G_f\) aus diesem Ergebnis folgt.
(zur Kontrolle: \(\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{12 - 2x}}\))
(5 BE)
Teilaufgabe 1d
Geben Sie \(f(-2)\) an und zeichnen Sie \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf die folgenden Aufgaben: \(-3 \leq y \leq 7\)).
(3 BE)
Teilaufgabe 1e
Die Funktion \(f\) ist in \(D_f\) umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) von \(f\) an und zeigen Sie, dass \(f^{-1} (x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) gilt.
(4 BE)
Teilaufgabe 2a
Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h\,\colon x \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) ist die Parabel \(G_h\). Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist ein Teil dieser Parabel.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_h\) mit der durch die Gleichung \(y = x\) gegebenen Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten.
(Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: -2 und 4)
(3 BE)
Teilaufgabe 2b
Zeichnen Sie die Parabel \(G_h\) - unter Berücksichtigung des Scheitels - im Bereich \(-2 \leq x \leq 4\) in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man diesen Teil von \(G_h\) an der Winkelhalbierenden \(w\), so entsteht eine herzförmige Figur; ergänzen Sie Ihre Zeichnung dementsprechend.
(4 BE)
Teilaufgabe 3a
Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit in Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1 cm in Wirklichkeit entsprechen.
Berechnen Sie den Inhalt des von \(G_h\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells.

(5 BE)