Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) und geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f'\) an.

Bestimmen Sie  \(\lim \limits_{x \, \to \, 6} f'(x)\) und beschreiben Sie, welche Eigenschaft von \(G_f\) aus diesem Ergebnis folgt.

(zur Kontrolle: \(\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{12 - 2x}}\))

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[f(x) = 2 - \sqrt{12 - 2x}\,; \quad D_{f} = \; ]-\infty;6]\]

 

Term der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\)

 

\[f(x) = 2 - \sqrt{12 - 2x} = 2 - (12 - 2x)^{\frac{1}{2}}\]

\[\begin{align*} f'(x) &= 0 - \frac{1}{2} \cdot (12 - 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2) \\[0.8em] &= (12 - 2x)^{-\frac{1}{2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{12 - 2x}} \end{align*}\]

 

Maximale Definitionsmenge von \(f'\)

 

\[f'(x) = \frac{1}{\sqrt{12 - 2x}}\]

Der Radikant des Wurzelterms im Nenner bestimmt den maximalen Definitionsbereich.

 

\[\begin{align*} 12 - 2x &> 0 & &| + 2x \\[0.8em] 12 &> 2x & &| : 2 \\[0.8em] 6 &> x \end{align*}\]

 

\[D_{f'} = \; ]-\infty;6[\]

 

Verhalten von \(f'\) für \(x \to 6\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, 6} f'(x) = \lim \limits_{x \, \to \, 6} \; \frac{1}{\underbrace{\sqrt{12 - 2x}}_{\to \, 0}} = \infty\]

 

Schlussfolgerung der Eigenschaft von \(G_f\) aus \(\lim \limits_{x \, \to \, 6} f'(x) = \infty\)

\[\lim \limits_{x \, \to \, 6} f'(x) = \lim \limits_{x \, \to \, 6} m_{t} = \infty\]

 

An der Stelle \(x = 6\) geht die Steigung der Tangente an \(G_f\) gegen Unendlich, d.h. die Tangente ist beliebig steil (senkrecht). Mit \(f(6) = 2\) und\(D_{f} = \; ]-\infty;6]\) (siehe Teilaufgabe 1a) folgt daraus, dass \(G_f\) an der Stelle \(x = 6\) senkrecht auf einer gedachten Geraden mit der Gleichung \(y = 2\) endet.

Verhalten des Graphen der Funktion f an de Stelle x = 6

Verhalten des Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 6\):  \(G_f\) endet im Punkt \((6|2)\) senkrecht auf der gedachten Geraden mit der Gleichung \(y = 2\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1a Teilaufgabe 1c »