Teilaufgabe 2a

Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h\,\colon x \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) ist die Parabel \(G_h\). Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist ein Teil dieser Parabel.

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_h\) mit der durch die Gleichung \(y = x\) gegebenen Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten.

(Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: -2 und 4)

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\,; \quad D = \mathbb R\]

\[w\,\colon\, y = x\]

 

Zur Berechnung der Schnittpunkte werden die Funktionsterme der Funktion \(h\) und der Winkelhalbierenden \(w\) gleichgesetzt.

 

\[\begin{align*} -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4 &= x & &| - x \\[0.8em] -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 &= 0 \end{align*}\]

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot 4}}{2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)} \\[0.8em] &= \frac{-1 \pm 3}{-1} \end{align*}\]

\[x_1 = -2\,; \quad x_2 = 4\]

 

\[w\,\colon\,y = x \quad \Longrightarrow \quad y_1 = -2\,; \quad y_2 = 4\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{1}\,(-2|-2)\,, \quad S_{2}\,(4|4)\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1e Teilaufgabe 2b »