Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit in Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1 cm in Wirklichkeit entsprechen.
Berechnen Sie den Inhalt des von \(G_h\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells.
(5 BE)
Von \(G_{h}\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenes Flächenstück
\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\]
\[w(x) = x\]
Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-2}^{4} (h(x) - w(x))\,dx\) errechnet den Flächeninhalt \(A\) des von \(G_{h}\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks.
\[A = \int_{-2}^{4} (h(x) - w(x))\,dx\]
\[h(x) - w(x) = -\frac{1}{2}x^2 +2x + 4 - x = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4\]
\[\begin{align*} A &= \int_{-2}^{4}\left( -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 \right)dx \\[0.8em] &= \left[ -\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 4x \right]_{-2}^{4} \\[0.8em] &= -\frac{1}{6} \cdot 4^3 + \frac{1}{2} \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 - \left( -\frac{1}{6} \cdot (-2)^3 + \frac{1}{2} \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) \right) \\[0.8em] &= -\frac{32}{3} + 8 + 16 - \left( \frac{4}{3} + 2 - 8 \right) \\[0.8em] &= 13\frac{1}{3} - \left( -4\frac{2}{3} \right) \\[0.8em] &= 18 \end{align*}\]
Der Flächeninhalt des von \(G_{h}\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks beträgt 18 FE (Flächeneinheit).
Der Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells ist gleich dem doppelten Flächeninhalt \(A\) des von \(G_{h}\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks. Dabei entspricht eine Flächeneinheit (FE) einem Quadratzentimeter des Blatts.
\[A_{\text{Blatt}} = 2 \cdot A = (2 \cdot 18)\;\text{cm}^2 = 36\;\text{cm}^2\]
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