Teilaufgabe 3a

Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit in Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1 cm in Wirklichkeit entsprechen.

Berechnen Sie den Inhalt des von \(G_h\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells.

Abbildung zu Teilaufgabe 3

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

Inhalt des von \(G_h\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks

 

Vom Graphen der Funktion h und der Winkelhalbierenden w einsgeschlossenes Flächenstück

Von \(G_{h}\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenes Flächenstück

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\]

\[w(x) = x\]

 

Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-2}^{4} (h(x) - w(x))\,dx\) errechnet den Flächeninhalt \(A\) des von \(G_{h}\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks.

 

\[A = \int_{-2}^{4} (h(x) - w(x))\,dx\]

\[h(x) - w(x) = -\frac{1}{2}x^2 +2x + 4 - x = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4\]

\[\begin{align*} A &= \int_{-2}^{4}\left( -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 \right)dx \\[0.8em] &= \left[ -\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 4x \right]_{-2}^{4} \\[0.8em] &= -\frac{1}{6} \cdot 4^3 + \frac{1}{2} \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 - \left( -\frac{1}{6} \cdot (-2)^3 + \frac{1}{2} \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) \right) \\[0.8em] &= -\frac{32}{3} + 8 + 16 - \left( \frac{4}{3} + 2 - 8 \right) \\[0.8em] &= 13\frac{1}{3} - \left( -4\frac{2}{3} \right) \\[0.8em] &= 18 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt des von \(G_{h}\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks beträgt 18 FE (Flächeneinheit).

 

Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells

 

Der Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells ist gleich dem doppelten Flächeninhalt \(A\) des von \(G_{h}\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks. Dabei entspricht eine Flächeneinheit (FE) einem Quadratzentimeter des Blatts.

 

\[A_{\text{Blatt}} = 2 \cdot A = (2 \cdot 18)\;\text{cm}^2 = 36\;\text{cm}^2\]

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