Teilaufgabe 3b

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_h\) im Punkt \((-2|h(-2))\). Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Gleichung der Tangente an \(G_h\) im Punkt \((-2|h(-2))\)

 

1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\,; \quad D = \mathbb R\]

\(S_{1}\,(-2|-2)\enspace\) (siehe Teilaufgabe 2a)

\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\]

 

Steigungsfaktor \(m_{T}\) der Tangente \(T\) berechnen:

\[m_{T} = h'(-2)\]

 

Erste Ableitung \(h'\) bilden:

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\]

\[\begin{align*}h'(x) &= -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x + 2 \\[0.8em] &= -x + 2\end{align*}\]

 

\[m_{T} = h'(-2) = -(-2) + 2 = 4\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen:

 

\[T\,\colon\,y = 4x + t\]

\[S_{1}\,(-2|-2)\]

 

\[\begin{align*} S_{1} \in T\,\colon\, -2 &= 4 \cdot (-2) + t \\[0.8em] -2 &= -8 + t & &| +8 \\[0.8em] 6 &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\,y = 4x + 6\]

 

2. Lösungansatz: Tangentengleichung

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\,; \quad D = \mathbb R\]

\(S_{1}\,(-2|-2)\enspace\) (siehe Teilaufgabe 2a)

\[T\,\colon\, y = h'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + h(x_{0})\]

 

Erste Ableitung \(h'\) bilden:

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\]

\[\begin{align*}h'(x) &= -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x + 2 \\[0.8em] &= -x + 2\end{align*}\]

 

\[h'(x_{0}) = h'(-2) = -(-2) + 2 = 4\]

 

Gleichung der Tangente aufstellen:

 

\[\begin{align*}y &= h'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + h(x_{0}) \\[0.8em] &= 4 \cdot (x - (-2)) + (-2) \\[0.8em] &= 4x + 8 - 2 \\[0.8em] &= 4x + 6\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\,y = 4x + 6\]

Tangente T an den Graphen der Funktion h im Punkt S₁(-2|-2)

Tangente \(T\) an \(G_h\) im Punkt \(S_{1}(-2|-2)\)

 

Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen

 

Es sei \(\varphi\) das Maß des Winkels, den die Blattränder im Modell an der Blattspitze einschließen.

Maß φ des Winkels, den die Blattränder im Modell an der Blattspitze einschließen; Steigungswinkel α der Tangente T an den Graphen der Funktion h im Punkt S₁(-2|-2)

Der Winkel \(\varphi\), den die Blattränder im Modell an der Blattspitze einschließen, ist gleich dem spitzen Winkel, den die Tangente \(T\) und die an der Winkelhalbierenden \(w\) gespiegelte Bildtangente \(T'\) einschließen. Der Wert des Winkels \(\varphi\) lässt sich mithilfe des Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente \(T\) berechnen.

 

\[\varphi = 2 \cdot (\alpha - 45^{\circ})\]

 

Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente \(T\) berechnen:

\[m_{T} = 4\enspace\]

 

\[\begin{align*}\tan{\alpha} &= m_{T} \\[0.8em] \tan{\alpha} &= 4 & &| \; \tan^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &\approx 75{,}96^{\circ}\end{align*}\]

 

Winkel \(\varphi\) berechnen:

 

\[\begin{align*}\varphi &= 2 \cdot (\alpha - 45^{\circ}) \\[0.8em] &= 2 \cdot (75{,}96^{\circ}- 45^{\circ}) \\[0.8em] &= 61{,}92^{\circ}\end{align*}\]

 

Die Größe des Winkels, den die Blattränder im Modell an der Blattspitze einschließen, beträgt 61,92°.

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