Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).

Abbildung zu Teilaufgabe 1a

Zeigen Sie, dass \(D_f = \mathbb R \, \backslash \, \{-5;5\}\) gilt und dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\]

 

Maximaler Definitionsbereich \(D_{f}\)

 

\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\]

 

Die Nullstelle des Nennerterms von \(f\) bestimmt den maximalen Definitionsbereich der gebrochenrationalen Funktion \(f\).

 

\[\begin{align*} \underbrace{x^2 - 25}_{a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,-\,b)\,\cdot\,(a\,+\,b)} &= 0 & &|\; \text{3. Binomische Formel anwenden} \\[0.8em] (x - 5) \cdot (x + 5) &= 0 \end{align*}\]

\[x_{1} = -5 \enspace \vee \enspace x_{2} = +5\]

oder:

\[\begin{align*} x^2 - 25 &= 0 & &| + 25 \\[0.8em] x^2 &= 25 & &| \;\sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm5 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\]

 

Nachweis, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist

 

\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\]

\[f(-x) = \frac{20 \cdot (-x)}{(-x)^2 - 25} = -\frac{20x}{x^2 - 25} = -f(x)\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) \(G_{f}\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

 

Nullstelle von \(f\)

 

\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\]

 

\[\begin{align*} f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 20x &= 0 \\[0.8em] x &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad N\,(0|0)\]

 

Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_{f}\)

 

Senkrechte Asymptoten:

\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\]

 

\(G_f\) besitzt an den beiden Polstellen \(x = -5\) und \(x = 5\) (siehe maximaler Definitionsbereich) jeweils eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = -5\) bzw. \(x = 5\).

 

Dritte Asymptote:

Da der Grad des Zählerpolynoms \(z\) kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms \(n\), ist für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\) waagrechte Asymptote von \(G_f\).

\(z < n \quad \Longrightarrow \quad y = 0\;\) ist waagrechte Asymptote von \(G_{f}\).

oder:

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \; \frac{20x}{x^2 - 25} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \; \frac{20x}{x \cdot \left(x - \frac{25}{x}\right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \; \frac{20}{x - \underbrace{\frac{25}{x}}_{\to\,0}} \\[0.8em]&= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \; \frac{20}{x} = 0^{-}\end{align*}\]
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \; \frac{20x}{x^2 - 25} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \; \frac{20x}{x \cdot \left(x - \frac{25}{x}\right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \; \frac{20}{x - \underbrace{\frac{25}{x}}_{\to\,0}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \; \frac{20}{x} = 0^{+}\end{align*}\]

 

Für \(x \to -\infty\) nähert sich \(G_f\) der \(x\)-Achse asymptotisch von unten und für \(x \to +\infty\) nähert sich \(G_f\) der \(x\)-Achse asymptotisch von oben.

\(\Longrightarrow \quad y = 0\;\) ist waagrechte Asymptote von \(G_{f}\). 

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