Teilaufgabe 1e

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen \(x = 10\) und \(x = s\) mit \(s > 10\) schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(s)\) ein. Bestimmen Sie \(A(s)\).

(Ergebnis: \(\displaystyle A(s) = 10 \cdot \ln{\frac{s^2 - 25}{75}}\))

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Flächenstück, das der Graph, von f, die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x = 10 und x = s mit s > 10 einschließen.

Flächenstück mit dem Inhalt \(A(s)\), welches \(G_{f}\), die \(x\)-Achse sowie die Geraden \(x = 10\) und \(x = s\,; \; s > 10\) einschließen.

 

Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{10}^{s} f(x)\,dx\) errechnet den Flächeninhalt \(A(s)\).

 

\[A(s) = \int_{10}^{s} f(x)\,dx\]

Stammfunktion \(F\) von \(f\):

Um eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) bilden zu können, wird die Integrandenfunktion \(f\) so umgeformt, dass das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\) darauf angewendet werden kann.

 

\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25} = 10 \cdot \frac{2x}{x^2 - 25}\]

 

Flächeninhalt \(A(s)\) bestimmen:

\[\begin{align*} A(s) &= \int_{10}^{s} f(x)\,dx \\[0.8em] &= \int_{10}^{s} \left( \frac{20x}{x^2 - 25} \right) dx \\[0.8em] &= \int_{10}^{s} \left( 10 \cdot \frac{2x}{x^2 - 25} \right) dx \\[0.8em] &= 10 \cdot \int_{10}^{s} \left( \frac{2x}{x^2 - 25} \right) dx \\[0.8em] &= 10 \cdot \left[ \ln {\vert x^2 - 25 \vert} \right]_{10}^{s} \\[0.8em] &= 10 \cdot \left[ \ln{\vert s^2 - 25 \vert} - \left( \ln{\vert 10^2 - 25 \vert} \right) \right] \\[0.8em] &= 10 \cdot \left[ \ln{(s^2 - 25)} - \ln{75} \right] \\[0.8em] &= 10 \cdot \ln{\frac{s^2 - 25}{75}} \end{align*}\]

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