Teilaufgabe 2a

Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Strecke der Länge 10 km zuerst flussaufwärts und unmittelbar anschließend flussabwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des Motorboots wird der Betrag der Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich das Boot bei dieser Motorleistung auf einem stehenden Gewässer bewegen würde.

Im Folgenden soll modellhaft davon ausgegangen werden, dass die Eigengeschwindigkeit des Boots während der Fahrt konstant ist und das Wasser im Fluss mit der konstanten Geschwindigkeit 5 \(\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\) fließt. Die für das Wendemanöver erforderliche Zeit wird vernachlässigt.

Die Gesamtfahrzeit in Stunden, die das Boot für Hinfahrt und Rückfahrt insgesamt benötigt, wird im Modell für \(x > 5\) durch den Term \(\displaystyle t(x) = \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5}\) angegeben. Dabei ist \(x\) die Eigengeschwindigkeit des Boots in \(\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\).

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von 10 \(\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\) und für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von 20 \(\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\) jeweils die Gesamtfahrzeit in Minuten.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[t(x) = \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5}\,; \quad x > 5\]

 

Gesamtfahrzeit in Minuten für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von \(10 \frac{\sf{km}}{\sf{h}}\)

 

\[x = 10\]

\[t(10) = \frac{10}{10 + 5} + \frac{10}{10 - 5} = \frac{10}{15} + \frac{10}{5} = \frac{2}{3} + 2 = 2\frac{2}{3}\]

\[2\frac{2}{3}\,\sf{h} = 2\frac{2}{3} \cdot 60\, \sf{min} = 160\,\sf{min}\]

Bei einer Eigengeschwindigkeit von \(10 \frac{\sf{km}}{\sf{h}}\) beträgt die Gesamtfahrzeit 160 min.

  

Gesamtfahrzeit in Minuten für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von \(20 \frac{\sf{km}}{\sf{h}}\)

 

\[x = 20\]

\[t(20) = \frac{10}{20 + 5} + \frac{10}{20 - 5} = \frac{10}{25} + \frac{10}{15} = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{6}{15} + \frac{10}{15} = \frac{16}{15} = 1\frac{1}{15}\]

\[1\frac{1}{15}\,\sf{h} = 1\frac{1}{15} \cdot 60\, \sf{min} = 64\,\sf{min}\]

Bei einer Eigengeschwindigkeit von \(20 \frac{\sf{km}}{\sf{h}}\) beträgt die Gesamtfahrzeit 64 min.

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