Teilaufgabe 2b

Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms \(t(x)\) die für die Hinfahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden angibt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[t(x) = \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5}\,;\quad x > 5\]

 

Für eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit gilt:

 

\[v = \frac{s}{t} \quad \Longleftrightarrow \quad t = \frac{s}{v}\]

 

Die Länge der Strecke für die Hinfahrt und die Rückfahrt beträgt jeweils 10 km.

Für die Gesamtfahrzeit gilt:

 

\[t_{\text{gesamt}} = t_{\text{Hinfahrt}} + t_{\text{Rückfahrt}} = \frac{10}{v_{\text{Hinfahrt}}} + \frac{10}{v_{\text{Rückfahrt}}}\]

 

Die Geschwindigkeit ist eine gerichtete physikalische Größe, welche durch einen Vektor mit Betrag und Richtung beschrieben wird. Die Richtung des Vektors entspricht der Bewegungsrichtung, sein Betrag entspricht dem Tempo. Im vorliegenden Sachzusammenhang kann die resultierende Geschwindigkeit für die Hinfahrt und die Rückfahrt als Vektoraddition bzw. -subtraktion betrachtet werden.

Auf der Hinfahrt fährt das Boot flussabwärts, d.h. es bewegt sich in dieselbe Richtung, in die auch der Fluss fließt.

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_{\text{Hinfahrt}} = \overrightarrow{v}_{\text{Boot}} + \overrightarrow{v}_{\text{Fluss}}\]

Auf der Rückfahrt fährt das Boot flussaufwärts, d.h. es bewegt sich entgegengesetzt der Richtung, in die der Fluss fließt.

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_{\text{Rückfahrt}} = \overrightarrow{v}_{\text{Boot}} - \overrightarrow{v}_{\text{Fluss}}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad t_{\text{gesamt}} &= t_{\text{Hinfahrt}} + t_{\text{Rückfahrt}} \\[0.8em] &= \frac{10}{v_{\text{Hinfahrt}}} + \frac{10}{v_{\text{Rückfahrt}}} \\[0.8em] &= \frac{10}{v_{\text{Boot}} + v_{\text{Fluss}}} + \frac{10}{v_{\text{Boot}} - v_{\text{Fluss}}}\end{align*}\]

 

Folglich gibt der erste Summand des Terms \(\displaystyle t(x) = \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5}\) die für die Hinfahrt, und der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden an.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a Teilaufgabe 2c »