Teilaufgabe 2e
Lösung zu Teilaufgabe 2e
Näherungsweise grafische Ermittlung der Eigengeschwindigkeit für \(2 < t(x) < 14\)
Die zu Beginn der Aufgabengruppe 2 gegebene Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f\) für \(5 < x < 14\). Wegen \(f(x) \Longleftrightarrow t(x)\) (siehe Teilaufgabe 2d) kann \(G_{f}\) für eine grafische Lösung nach dem Modell aus Teilaufgabe 2 verwendet werden, um für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Bootes näherungsweise zu ermitteln..
Dabei gibt die \(y\)-Koordinate eines Graphenpunktes von \(G_f\) die Gesamtfahrzeit in Stunden an und die \(x\)-Koordinate die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Bootes in \(\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\). So liest man beispielsweise für eine Gesamtfahrzeit von vier Stunden näherungsweise eine Eigengeschwindigkeit des Bootes von \(8\frac{\sf{km}}{\sf{h}}\) ab.
Eigengeschwindigkeit des Bootes nach dem Modell für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrzeit von vier Stunden
\[t(x) = \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5}\,; \quad x > 5\]
\[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\]
\[\begin{align*}t(x) &= 4 \\[0.8em] \frac{10}{x + 5} + \frac{10}{x - 5} &= 4 & &| t(x) \Longleftrightarrow f(x) \\[0.8em] \frac{20x}{x^2 - 25} &= 4 & &| \cdot (x^2 - 25) \\[0.8em] 20x &= 4 \cdot(x^2 - 25) \\[0.8em] 20x &= 4x^2 - 100 & &| - 20x \\[0.8em] 0 &= 4x^2 - 20x - 100 \end{align*}\]
\[\begin{align*}x_{1,2} &= \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-100)}}{2 \cdot 4} \\[0.8em] &= \frac{20 \pm \sqrt{2000}}{8} \\[0.8em] &= \frac{20 \pm 20\sqrt{5}}{8} \\[0.8em] &= \frac{5 \pm 5\sqrt{5}}{2} \\[0.8em]\end{align*}\]
\[x_{1} = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2} \approx 8{,}09\]
\[\left(x_{2} = \frac{5 - 5\sqrt{5}}{2} \approx -3{,}09\right)\]
Für eine Gesamtfahrzeit von vier Stunden muss die Eigengeschwindigkeit des Bootes nach dem Modell ca. \(8{,}09\frac{\sf{km}}{h}\) betragen.
Anmerkung: Die Lösung \(x_2 \approx -3{,}09\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs \(D_{f} = ]5;\infty[\). Auch kommt sie im Sachzusammenhang nicht in Frage, da das Boot mit einer Eigengeschwindigkeit \(x > 5\) immer vorwärts fährt.
