Teilaufgabe a

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A\,(4|0|0)\), \(B\,(0|4|0)\) und \(C\,(0|0|4)\) das Dreieck \(ABC\) fest, das in der Ebene \(E\,\colon \, x_1 + x_2 + x_3 = 4\) liegt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

1. Lösungsansatz: Elementargeometrischer Ansatz

 

\[A\,(4|0|0)\,, \enspace B\,(0|4|0)\,, \enspace C\,(0|0|4)\]

gleichseitiges Dreieck ABC

Da die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) jeweils auf einer Koordinatenachse bei 4 liegen, ist das Dreieck \(ABC\) gleichseitig.

\[A_{\triangle ABC} = \frac{a^2}{4}\sqrt{3}\]

 

Seitenlänge \(a\) des gleichseitigen Dreiecks \(ABC\) berechnen:

\[\begin{align*}a &= \vert \overrightarrow{AB} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \vert \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} \\[0.8em] &= \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\end{align*}\]

 

Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) berechnen:

 

\[A_{\triangle ABC} = \frac{a^2}{4}\sqrt{3} = \frac{(4\sqrt{2})^2}{4}\sqrt{3} = \frac{32}{4}\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}86\]

 

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt 13,86 FE (Flächeneinheiten).

 

2. Lösungsansatz: Vektorprodukt anwenden

 

\[A\,(4|0|0)\,, \enspace B\,(0|4|0)\,, \enspace C\,(0|0|4)\]

Parallelogramm, welches die Vektoren von A nach B und von A nach C aufspannen

Die Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) spannen ein Parallelogramm auf, dessen Flächeninhalt sich mit dem Vektorprodukt berechnen lässt. Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) ist gleich dem halben Flächeninhalt des Parallelogramms.

\[\begin{align*}A_{\triangle ABC} &= \frac{1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \vert \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \vert (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \times (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) \vert \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \left[\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \times \left[\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 4 & \cdot & 4 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-4) & - & (-4) & \cdot & 4 \\ (-4) & \cdot & 0 & - & 4 & \cdot & (-4) \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 16 \\ 16 \\ 16 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{16^2 + 16^2 + 16^2} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 \cdot 16^2} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{3} \\[0.8em] &= 8\sqrt{3} = 13{,}86 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt 13,86 FE (Flächeneinheiten).

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