Lösung zu Teilaufgabe c
Die Punkte \(P\) und \(Q\) sind bezüglich der Ebene \(E\) symmetrisch, wenn der Vektor \(\overrightarrow{PQ}\) zur Ebene \(E\) senkrecht ist und die Punkte \(P\) und \(Q\) den gleichen Abstand von der Ebene \(E\) haben.
\[\overrightarrow{PQ} \perp E \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{PQ} = k \cdot \overrightarrow{n}_{E}\,; \enspace k \in \mathbb R\]
\[d\,(P;E) = d\,(Q;E)\]
bzw.
\[d\,(P;E) = \frac{1}{2} \cdot \overline{PQ}\]
Nachweisen, dass \(\overrightarrow{PQ} \perp E\) gilt:
\[E\,\colon\, x_1 + x_2 + x_3 = 4\,; \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]
\[P\,(2|2|3)\,,\enspace Q\,(0|0|1)\]
\[\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = (-2) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{PQ} = (-2) \cdot \overrightarrow{n}_{E}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{PQ} \perp E\]
Abstand des Punktes \(P\) von der Ebene \(E\):
Abstand Punkt - Ebene
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) zu einer in der Hesseschen Normalenform (HNF) vorliegenden Ebene \(E\) gilt:
Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace (\text{HNF})\]
\[d(P;E) = \left| \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A}) \right|\]
Koordinatendarstellung
\[E \colon \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} = 0 \enspace (\text{HNF})\]
\[d(P;E) = \left| \frac{n_{1}p_{1} + n_{2}p_{2} + n_{3}p_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} \right|\]
Dabei ist \(\overrightarrow{n}^{0}_{E} = \dfrac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert}\) der Einheitsvektor des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).
\[E\,\colon\, x_1 + x_2 + x_3 = 4\]
\[P\,(2|2|3)\]
Betrag des Normalenvektors der Ebene \(E\):
Betrag eines Vektors
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert = \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]
\[E^{HNF}\,\colon\, \frac{x_1 + x_2 + x_3 - 4}{\sqrt{3}} = 0 \]
Abstände \(d\,(P;E)\) und \(d\,(Q;E)\) berechnen:
\[\begin{align*} d\,(P;E) &= \left| \frac{p_1 + p_2 + p_3 - 4}{\sqrt{3}} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{2 + 2 + 3 - 4}{\sqrt{3}} \right| \\[0.8em] &= \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \end{align*}\]
\[\begin{align*} d\,(Q;E) &= \left| \frac{q_1 + q_2 + q_3 - 4}{\sqrt{3}} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{0 + 0 + 1 - 4}{\sqrt{3}} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{-3}{\sqrt{3}} \right| \\[0.8em] &= \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad d\,(p;E) = d\,(Q;E)\]
oder:
\[\vert \overrightarrow{PQ} \vert = \left| \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]
\[\Longrightarrow \quad d\,(P;E) = \frac{1}{2} \cdot \overline{PQ}\]
Folglich sind die Punkte \(P\) und \(Q\) bezüglich der Ebene \(E\) symmetrisch.