Teilaufgabe c
Lösung zu Teilaufgabe c
Begründung, dass die Gerade \(t\) in der Ebene \(E\) liegt
1. Lösungsansatz: Orthogonale Vektoren
Die Gerade \(t\) liegt in der Ebene \(E\), wenn der Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}_{t}\) der Geraden \(t\) senkrecht zum Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) ist.
Zudem liegt der Punkt \(T\) in der Ebene \(E\), da das Rechteck \(BCHG\) die Ebene \(E\) repräsentiert (siehe Teilaufgabe b) und der Punkt \(T\) auf der Strecke \([GH]\) liegt.
\[\overrightarrow{v}_{t} \circ \overrightarrow{n}_{E} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{v}_{t} \perp \overrightarrow{n}_{E} \]
\[t\,\colon\,\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_{t} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\]
\[E\,\colon\, 3x_{1} + 4x_{3} - 44 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{v}_{t} \circ \overrightarrow{n}_{E} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot 3 + 0 \cdot 0 + (-3) \cdot 4 &= 0 \\[0.8em] 0 &= 0 \quad (\text{w}) \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_{t} \perp \overrightarrow{n}_{E}\]
\[\Longrightarrow \quad t \subset E\]
2. Lösungsansatz: Parallele Vektoren
Die Gerade \(t\) liegt in der Ebene \(E\), wenn der Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}_{t}\) der Geraden \(t\) parallel zum Vektor \(\overrightarrow{HC} \in E\) verläuft und der Punkt \(T\) in der Ebene \(E\) liegt.
Nachweisen, dass \(T \in E\) gilt:
Der Punkt \(T\) liegt in der Ebene \(E\), da das Rechteck \(BCHG\) die Ebene \(E\) repräsentiert (siehe Teilaufgabe b) und der Punkt \(T\) auf der Strecke \([GH]\) liegt.
\(\left. \begin{align*} BCGH \subset E& \\ T \in [GH]& \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace T \in E \)
oder:
\[E\,\colon\, 3x_{1} + 4x_{3} - 44 = 0\,; \quad T\,(4|8|8)\]
\[\begin{align*}T \in E\,\colon\, 3 \cdot 4 + 4 \cdot 8 - 44 &= 0 \\[0.8em] 12 + 32 - 44 &= 0 \\[0.8em] 0 &= 0 \quad (\text{w}) \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T \in E\]
Nachweisen, dass \(\overrightarrow{v_{t}} \parallel \overrightarrow{HC}\) gilt:
\[t\,\colon\,\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_{t} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\]
\(H\,(4|10|8)\), \(C\,(8|10|5)\) (siehe Abbildung zur Aufgabengruppe)
\[\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{H} = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \overrightarrow{v}_{t}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{v_{t}} \parallel \overrightarrow{HC}\]
\[\left. \begin{align*} T \in E& \\ \overrightarrow{v_{t}} \parallel \overrightarrow{HC}& \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace t \subset E\]
Nachweis, dass die Gerade \(t\) von der Geraden \(HC\) den Abstand 2 besitzt
Wie in Teilaufgabe a beschrieben, ist \(BCHG\) ein Rechteck. Folglich sind die Geraden \(HG\) und \(HC\) im Punkt \(H\) zueinander senkrecht. Da der Punkt \(T\) auf der Geraden \(HG\) liegt, ist der Abstand des Punktes \(T\) von der Geraden \(HC\) gleich der Länge der Strecke \([HT]\).
\[\left. \begin{align*} HG \perp HC& \\ T \in HC& \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace d\,(T;HC) = \overline{HT}\]
\[\begin{align*} d\,(T;HC) &= \overline{HT} \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{HT} \vert \\[0.8em] &=\vert \overrightarrow{T} - \overrightarrow{H} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} \\[0.8em] &= \sqrt{4} = 2 \end{align*}\]
