Teilaufgabe e

Lösung zu Teilaufgabe e

\[E\,\colon\,3x_{1} + 4x_{3} - 44 = 0\]

\[F\,\colon\,3x_{1} + 4x_{3} - 49{,}6 = 0\]

Da die Ebene \(F\) aus der Ebene \(E\) durch Verschiebung in \(x_{3}\)-Richtung hervorgeht, sind die beiden Ebenen zueinander parallel.

\[E \parallel F \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \overrightarrow{n}_{F}\]

1. Lösungsansatz: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Die Punkte \(B\), \(C\), \(G\), \(H\) und \(T\) liegen in der Ebene \(E\). Dann liegt beispielsweise der um 1,4 in \(x_{3}\)-Richtung verschobene Punkt \(C'\) in der Ebene \(F\).

\[C\,(8|10|5) \quad \xmapsto{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1{,}4 \end{pmatrix}} \quad C'\,(8|10|6{,}4)\]

\[\begin{align*} F\,\colon & & \overrightarrow{n}_{F} \circ \bigg( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{C'} \bigg) &= 0 \\[0.8em] & & \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 6{,}4 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] & & 3 \cdot (x_{1} - 8) + 0 \cdot (x_{2} - 10) + 4 \cdot (x_{3} - 6{,}4) &= 0 \\[0.8em] & & 3x_{1} - 24 + 4x_{3} - 25{,}6 &= 0 \\[0.8em] & & 3x_{1} + 4x_{3} - 49{,}6 &= 0   \end{align*}\]

2. Lösungsansatz: Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung

\(C'(8|10|6{,}4) \in F\) (siehe 1. Lösungsansatz)

\[F\,\colon\, 3x_{1} + 4x_{3} + n_{0} = 0\]

\[\begin{align*} C' \in F\,\colon\, 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6{,}4 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 24 + 25{,}6 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 49{,}6 + n_{0} &= 0 & &| - 49{,}6 \\[0.8em] n_{0} &= -49{,}6 \end{align*}\]

\[F\,\colon\, 3x_{1} + 4x_{3} - 49{,}6 = 0\]