Teilaufgabe e

Die Punkte \(M\) und \(N\) liegen auf der Geraden
\(\displaystyle \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4{,}8 \\ 8 \\ 7{,}4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\mu \in \mathbb R\),
die im Modell die Neigung der Dachfläche der Gaube festlegt. Die zur \(x_3\)-Achse parallele Strecke \([NL]\) stellt im Modell den sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll 1,4 m betragen. Um die Koordinaten von \(N\) und \(L\) zu bestimmen, wird die Ebene \(F\) betrachtet, die durch Verschiebung von \(E\) um 1,4 in positive \(x_3\)-Richtung entsteht.

Begründen Sie, dass \(3x_1 + 4x_3 - 49{,}6 = 0\) eine Gleichung von \(F\) ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

\[E\,\colon\,3x_{1} + 4x_{3} - 44 = 0\]

\[F\,\colon\,3x_{1} + 4x_{3} - 49{,}6 = 0\]

 

Da die Ebene \(F\) aus der Ebene \(E\) durch Verschiebung in \(x_{3}\)-Richtung hervorgeht, sind die beiden Ebenen zueinander parallel.

 

\[E \parallel F \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \overrightarrow{n}_{F}\]

 

1. Lösungsansatz: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

 

Die Punkte \(B\), \(C\), \(G\), \(H\) und \(T\) liegen in der Ebene \(E\). Dann liegt beispielsweise der um 1,4 in \(x_{3}\)-Richtung verschobene Punkt \(C'\) in der Ebene \(F\).

\[C\,(8|10|5) \quad \xmapsto{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1{,}4 \end{pmatrix}} \quad C'\,(8|10|6{,}4)\]

\[\begin{align*} F\,\colon & & \overrightarrow{n}_{F} \circ \bigg( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{C'} \bigg) &= 0 \\[0.8em] & & \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 6{,}4 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] & & 3 \cdot (x_{1} - 8) + 0 \cdot (x_{2} - 10) + 4 \cdot (x_{3} - 6{,}4) &= 0 \\[0.8em] & & 3x_{1} - 24 + 4x_{3} - 25{,}6 &= 0 \\[0.8em] & & 3x_{1} + 4x_{3} - 49{,}6 &= 0   \end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung

\(C'(8|10|6{,}4) \in F\) (siehe 1. Lösungsansatz)

 

\[F\,\colon\, 3x_{1} + 4x_{3} + n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*} C' \in F\,\colon\, 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6{,}4 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 24 + 25{,}6 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 49{,}6 + n_{0} &= 0 & &| - 49{,}6 \\[0.8em] n_{0} &= -49{,}6 \end{align*}\]

 

\[F\,\colon\, 3x_{1} + 4x_{3} - 49{,}6 = 0\]

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