Teilaufgabe 1b

Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch 15 Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder enthalten, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Der Junge erhält zwei Päckchen zu je fünf Bildern, also insgesamt zehn Bilder.

In seinem Album befinden sich \(200 - 15 = 185\) eingeklebte Bilder. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Junge ein Bild erhält, das er schon hat, beträgt demnach \(\frac{185}{200}\). Somit errechnet sich die Wahrscheinlichkeit \(P\) dafür, dass der Junge nur (zehn) Bilder erhält, die er bereits in seinem Sammelalbum hat, zu:

\[P = \left(\frac{185}{200}\right)^{10} \approx 0{,}4586 = 45{,}86\,\%\]

 

Alternativ kann die Situation als Bernoullikette betrachtet werden, mit der Länge \(n = 10\) und der konstanten Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{185}{200} = 0{,}925\), ein bereits vorhandenes Bild zu erhalten.

Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Anzahl der Bilder, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat."

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(10;0{,}925)\) binomialverteilt.

\[\begin{align*}P(X = 10) &= B(10; 0{,}925; 10) \\[0.8em] &= \underbrace{\binom{10}{10}}_{1} \cdot 0{,}925^{10} \cdot \underbrace{(1 - 0{,}925)^{10 - 10}}_{1} \\[0.8em] &\approx 0{,}4586 = 45{,}86\,\% \end{align*}\]

 

Anmerkung: \(\displaystyle \binom{n}{k = n} = 1\)

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