Teilaufgabe 1c

Bei Kindern besonders beliebt sind die 3D-Bilder, auf denen die Tiere dreidimensional erscheinen. 20 der 200 für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder.

Ermitteln Sie, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Binomialverteilung

Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Anzahl der erhaltenen 3D-Bilder"

 

Analyse der Angabe:

 

„20 der 200 für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder."

\[\Longrightarrow \quad p = \frac{20}{200} = 0{,}1\]

 

„... um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D Bild zu erhalten."

\[P_{0{,}1}^{n}(X \geq 1) > 0{,}99\]

 

Betrachten des Gegenereignisses:

\[\begin{align*}P_{0{,}1}^{n}(X \geq 1) &> 0{,}99 & &| \;\text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}1}^{n}(X = 0) &> 0{,}99 & &| - 1 \\[0.8em] - P_{0{,}1}^{n}(X = 0) &> -0{,}01 & &| \cdot (-1) \quad\text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}1}^{n}(X = 0) &< 0{,}01 & &| \;\text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{0{,}1^{0}}_{1} \cdot (1 - 0{,}1)^{n - 0} &< 0{,}01 \\[0.8em] 0{,}9^{n} &< 0{,}01 & &| \; \ln \\[0.8em] \ln\big(0{,}9^{n}\big) &< \ln(0{,}01) & &| \; \log_{a}\big( b^n \big) = n \cdot \log_{a}b \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}9 &< \ln 0{,}01 & &| : \ln 0{,}9 \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9} \\[0.8em] n &> 43{,}7 \end{align*}\]

 

Ein Kind benötigt mindestens 44 Bilder und damit mindestens neun Päckchen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1b Teilaufgabe 2a »