Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Nullstellen einer Funktion

 

\[f(x) = \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln{x})\,; \enspace D = \mathbb R^{+}\]

 

\[f(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln{x}) = 0\]

 

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

 

Ersten Faktor gleich Null setzen:

 

\[\begin{align*} x^3 - 8 &= 0 & &| + 8 \\[0.8em] x^3 &= 8 & &| \sqrt[3]{\quad} \\[0.8em] x &= 2 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad x_{N_{1}} = 2\]

 

Zweiten Faktor gleich Null setzen:

 

\[\begin{align*} 2 + \ln{x} &= 0 & &| - 2 \\[0.8em] \ln{x} &= -2 & &| \; a^{x} = b \enspace \Longleftrightarrow \enspace x = \log_{a}{b} \\[0.8em] x &= e^{-2} \\[0.8em] x &= \frac{1}{e^{2}} \end{align*}\]

oder

\[\begin{align*} 2 + \ln{x} &= 0 & &| - 2 \\[0.8em] \ln{x} &= -2 & &| \; e^{(\dots)} \\[0.8em] e^{\ln{x}} &= e^{-2} & &| \; a^{\log_{a}{b}} = b \\[0.8em] x &= e^{-2} \\[0.8em] x &= \frac{1}{e^{2}} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad x_{N_{2}} = \frac{1}{e^{2}}\]

 

Die Nullstellen der Funktion \(f\) sind:

\[x_{N_{1}} = 2\,; \enspace x_{N_{2}} = \frac{1}{e^{2}}\]

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