Teilaufgabe 1b
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Nullstellen einer Funktion
\[f(x) = \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln{x})\,; \enspace D = \mathbb R^{+}\]
\[f(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln{x}) = 0\]
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Ersten Faktor gleich Null setzen:
\[\begin{align*} x^3 - 8 &= 0 & &| + 8 \\[0.8em] x^3 &= 8 & &| \sqrt[3]{\quad} \\[0.8em] x &= 2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad x_{N_{1}} = 2\]
Zweiten Faktor gleich Null setzen:
\[\begin{align*} 2 + \ln{x} &= 0 & &| - 2 \\[0.8em] \ln{x} &= -2 & &| \; a^{x} = b \enspace \Longleftrightarrow \enspace x = \log_{a}{b} \\[0.8em] x &= e^{-2} \\[0.8em] x &= \frac{1}{e^{2}} \end{align*}\]
oder
\[\begin{align*} 2 + \ln{x} &= 0 & &| - 2 \\[0.8em] \ln{x} &= -2 & &| \; e^{(\dots)} \\[0.8em] e^{\ln{x}} &= e^{-2} & &| \; a^{\log_{a}{b}} = b \\[0.8em] x &= e^{-2} \\[0.8em] x &= \frac{1}{e^{2}} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad x_{N_{2}} = \frac{1}{e^{2}}\]
Die Nullstellen der Funktion \(f\) sind:
\[x_{N_{1}} = 2\,; \enspace x_{N_{2}} = \frac{1}{e^{2}}\]
