Teilaufgabe 2a

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) mit \(f(x) = x^2 - x + 1\), \(g(x) = x^3 - x + 1\) und \(h(x) = x^4 + x^2 + 1\).

Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
Abbildung 1 zu Teilaufgabe 2 Analysis 1 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 1

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Zuordnen von Funktionstermen

 

\[f(x) = x^2 - x + 1\,; \quad D _{f} = \mathbb R\]

\[g(x) = x^3 - x + 1\,; \quad D _{g} = \mathbb R\]

\[h(x) = x^4 + x^2 + 1\,; \quad D _{h} = \mathbb R\]

 

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion \(g\).

 

Funktion \(f\) kommt nicht in Frage, da

1) eine quadratische Funktion genau einen Extrempunkt (Scheitelpunkt) hat.

2) der Graph von \(f\) für \(x \to \pm\infty\) gegen \(+\infty\) geht.

\[\begin{align*} \lim \limits_{x \, \to \pm \infty} f(x) &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} x^2 - x +1 \\[0.8em] &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} x^2 \underbrace{\left( 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \right)}_{\to \, 1} = +\infty \end{align*}\]

 

Funktion \(h\) kommt nicht in Frage, da

1) der Graph von \(h\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist (ganzrationale Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten).

\[h(-x) = (-x)^{4} + (-x)^{2} + 1 = x^{4} + x^{2} + 1 = h(x)\]

2) der Graph von \(h\) für \(x \to \pm\infty\) gegen \(+\infty\) geht. 

\[\begin{align*} \lim \limits_{x \, \to \pm \infty} h(x) &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} x^{4} + x^{2} +1 \\[0.8em] &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} x^{4} \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}} \right)}_{\to \, 1} = +\infty \end{align*}\]

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