Teilaufgabe 1b

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion

 

\(g(x) = \ln(2x + 3)\,; \enspace D = \; ]-\frac{3}{2}; +\infty[\)

 

Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse (Nullstelle)

 

\[\begin{align*} \ln(2x + 3) &= 0 & &| \; \log_{a}{1} = 0 \\[0.8em] 2x + 3 &= 1 & &| - 3 \\[0.8em] 2x &= -2 & &| : 2 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad N\,(-1|0)\]

 

Gleichung der Tangente an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse

 

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[T \, \colon \, y = g'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + g(x_{0})\]

\[x_{0} = -1\]

 

Erste Ableitung \(g'\) bilden:

\[\begin{align*} g(x) = \ln(2x + 3) \quad \Longrightarrow \quad g'(x) &= \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{2x + 3} \end{align*}\]

 

\(g'(-1)\) und \(g(-1)\) berechnen:

 

\[g'(-1) = \frac{2}{2 \cdot (-1) + 3} = 2\]

\(g(-1) = 0\) (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, siehe oben)

 

\(x_{0} = -1\), \(g'(-1) = 2\) und \(g(-1) = 0\) in Tangentengleichung einsetzen:

 

\[\begin{align*} y &= g'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + g(x_{0}) \\[0.8em] &= 2 \cdot (x - (-1)) + 0 \\[0.8em] &= 2x + 2 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 2x + 2\]

  

2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T \,\colon\, y = m_{T} \cdot x + t\,; \enspace N\,(-1|0)\]

 

Tangentensteigung bestimmen:

\[m_{T} = g'(-1)\]

 

Erste Ableitung \(g'\) bilden:

\[\begin{align*} g(x) = \ln(2x + 3) \quad \Longrightarrow \quad g'(x) &= \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{2x + 3} \end{align*}\]

 

\[g'(-1) = \frac{2}{2 \cdot (-1) + 3} = 2\]

\[\Longrightarrow \quad m_{T} = 2\]

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 2x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

 

\[\begin{align*} N\,(-1|0) \in T \, \colon & & y &= 2x + t \\[0.8em] & & 0 &= 2 \cdot (-1) + t \\[0.8em] & & 0 &= -2 + t & &| + 2 \\[0.8em] & & 2 &= t \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 2x + 2\]

Tangente T an den Graphen der Funktion g im Punkt (-1|0)

Tangente \(T\) an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse

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