Teilaufgabe 1b
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion
\(g(x) = \ln(2x + 3)\,; \enspace D = \; ]-\frac{3}{2}; +\infty[\)
Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse (Nullstelle)
\[\begin{align*} \ln(2x + 3) &= 0 & &| \; \log_{a}{1} = 0 \\[0.8em] 2x + 3 &= 1 & &| - 3 \\[0.8em] 2x &= -2 & &| : 2 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad N\,(-1|0)\]
Gleichung der Tangente an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
\[T \, \colon \, y = g'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + g(x_{0})\]
\[x_{0} = -1\]
Erste Ableitung \(g'\) bilden:
\[\begin{align*} g(x) = \ln(2x + 3) \quad \Longrightarrow \quad g'(x) &= \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{2x + 3} \end{align*}\]
\(g'(-1)\) und \(g(-1)\) berechnen:
\[g'(-1) = \frac{2}{2 \cdot (-1) + 3} = 2\]
\(g(-1) = 0\) (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, siehe oben)
\(x_{0} = -1\), \(g'(-1) = 2\) und \(g(-1) = 0\) in Tangentengleichung einsetzen:
\[\begin{align*} y &= g'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + g(x_{0}) \\[0.8em] &= 2 \cdot (x - (-1)) + 0 \\[0.8em] &= 2x + 2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 2x + 2\]
2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
\[T \,\colon\, y = m_{T} \cdot x + t\,; \enspace N\,(-1|0)\]
Tangentensteigung bestimmen:
\[m_{T} = g'(-1)\]
Erste Ableitung \(g'\) bilden:
\[\begin{align*} g(x) = \ln(2x + 3) \quad \Longrightarrow \quad g'(x) &= \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{2x + 3} \end{align*}\]
\[g'(-1) = \frac{2}{2 \cdot (-1) + 3} = 2\]
\[\Longrightarrow \quad m_{T} = 2\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 2x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
\[\begin{align*} N\,(-1|0) \in T \, \colon & & y &= 2x + t \\[0.8em] & & 0 &= 2 \cdot (-1) + t \\[0.8em] & & 0 &= -2 + t & &| + 2 \\[0.8em] & & 2 &= t \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 2x + 2\]
Tangente \(T\) an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse
