Teilaufgabe 3b

Die Funktion \(k\) hat in \(x = 2\) eine Nullstelle und in \(x = -3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als Asymptote. 

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Funktionsterm bestimmen

 

Ansatz: Gebrochenrationale Funktion \(\displaystyle k(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) mit dem Zählerpolynom \(p(x)\) und dem Nennerpolynom \(q(x)\)

Die Bedingung „Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als Asymptote" (waagrechte Asymptote) legt fest, dass der Grad des Zählerpolynoms \(p(x)\) gleich dem Grad des Nennerpolynoms \(q(x)\) sein muss. Außerdem muss der Faktor vor der höchsten Potenz von \(x\) des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms denselben Wert haben.

Die Bedingung „... in \(x = -3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel" erfordert mindestens ein Nennerpolynom zweiten Grades. Folglich muss auch das Zählerpolynom zweiten Grades sein.

Damit lässt sich der Ansatz konkretisieren, beispielsweise zu:

\[k(x) = \frac{p(x)}{(x + 3)^{2}}\]

Die gesuchte gebrochenrationale Funktion \(k\) hat in \(x = 2\) eine Nullstelle, wenn das Zählerpolynom \(p(x)\) in \(x = 2\) eine Nullstelle hat. Dies ist z.B. der Fall für \(p(x) = x^{2} - 4\).

 

\[\Longrightarrow \quad k(x) = \frac{x^{2} - 4}{(x + 3)^{2}} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 6x + 9}\]

 

Ergänzung: Nachweis der waagrechten Asymptote mit der Gleichung \(y = 1\) (Probe)

 

Waagrechte Asymptoten von Graphen gebrochenrationaler Funktionen bestimmen das Verhalten im Unendlichen.

 

\[\begin{align*} \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \; \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 6x + 9} &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \; \frac{x^{2} \left( 1 - \frac{4}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left( 1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}} \right)}  \\[0.8em] &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \; \frac{1 - \overset{\to \, 0}{\frac{4}{x^{2}}}}{1 + \underset{\to \, 0}{\frac{6}{x}} + \underset{\to \, 0}{\frac{9}{x^{2}}}} = 1 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Gerade \(y = 1\) ist waagrechte Asymptote des Graphen der Funktion \(k\).

Verlauf des Graphen der Funktion k

Verlauf des Graphen \(G_{k}\) der Funktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto \frac{x^{2} - 4}{(x + 3)^{2}}\)

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