Teilaufgabe 1b

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(E\,(1|2|5)\) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten.

Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Parallelverschiebung, Vektoraddition

 

\[A\,(0|1|2)\,, \enspace B\,(2|5|6)\,, \enspace E\,(1|2|5)\]

 

Die drei möglichen Parallelogramme gehen durch eine Parallelverschiebung eines Punktes \(A\), \(B\) oder \(E\) hervor. Der Verschiebungsvektor ist jeweils der Verbindungsvektor, den die beiden anderen Punkte bilden. Die Ortsvektoren der Bildpunkte \(P_{1}\), \(P_{2}\) und \(P_{3}\) lassen sich durch Vektoraddition berechnen.

Die Parallelogramme können jeweils auch durch Spiegelung eines Punktes \(A\), \(B\) oder \(E\) am Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite konstruiert werden.

 

1. Möglichkeit: Verschiebung von \(E\) mit \(\overrightarrow{AB}\) bzw. Verschiebung von \(B\) mit \(\overrightarrow{AE}\)

Das Parallelogramm EABA' entsteht durch Spiegelung des Punktes A am Mittelpunkt der Strecke [BE].

Das Parallelogramm \(EABA'\) entsteht aus dem Dreieck \(ABE\) durch Verschiebung des Punktes \(E\) mit dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) oder durch Verschiebung des Punktes \(B\) mit dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AE}\).

 

Koordinaten des Punktes \(A'\):

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{P_{1}} &= \overrightarrow{E} + \overrightarrow{EA'} & &| \; \overrightarrow{EA'} = \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \overrightarrow{E} + \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \overrightarrow{E} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad P_{1}(3|6|9)\]

 

oder

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{P_{1}} &= \overrightarrow{B} + \overrightarrow{BA'} & &| \; \overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{AE} \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} + \overrightarrow{AE} \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} + \overrightarrow{E} - \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad P_{1}(3|6|9)\]

 

2. Möglichkeit: Verschiebung von \(A\) mit \(\overrightarrow{BE}\) bzw. Verschiebung von \(E\) mit \(\overrightarrow{BA}\)

Das Parallelogramm ABEB' entsteht durch Spiegelung des Punktes B am Mittelpunkt der Strecke [EA].

Das Parallelogramm \(ABEB'\) entsteht aus dem Dreieck \(ABE\) durch Verschiebung des Punktes \(A\) mit dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{BE}\) oder durch Verschiebung des Punktes \(E\) mit dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{BA}\).

 

Koordinaten des Punktes \(B'\):

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{P_{2}} &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB'} & &| \; \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{BE} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{BE} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad P_{2}(-1|-2|1)\]

 

oder

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{P_{2}} &= \overrightarrow{E} + \overrightarrow{EB'} & &| \; \overrightarrow{EB'} = \overrightarrow{BA} \\[0.8em] &= \overrightarrow{E} + \overrightarrow{BA} \\[0.8em] &= \overrightarrow{E} + \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad P_{2}(-1|-2|1)\]

 

3. Möglichkeit: Verschiebung von \(A\) mit \(\overrightarrow{EB}\) bzw. Verschiebung von \(B\) mit \(\overrightarrow{EA}\) 

Das Parallelogramm BEAE' entsteht durch Spiegelung des Punktes E am Mittelpunkt der Strecke [AB].

Das Parallelogramm \(BEAE'\) entsteht aus dem Dreieck \(ABE\) durch Verschiebung des Punktes \(A\) mit dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{EB}\) oder durch Verschiebung des Punktes \(B\) mit dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{EA}\).

 

Koordinaten des Punktes \(E'\):

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{P_{3}} &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AE'} & &| \; \overrightarrow{AE'} = \overrightarrow{EB} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{EB} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{E} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad P_{3}(1|4|3)\]

 

oder

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{P_{3}} &= \overrightarrow{B} + \overrightarrow{BE'} & &| \; \overrightarrow{BE'} = \overrightarrow{EA} \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} + \overrightarrow{EA} \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} - \overrightarrow{E} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad P_{3}(1|4|3)\]

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