Teilaufgabe 2b

Die Kante \([AS]\) steht senkrecht auf der Grundfläche \(ABCD\). Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(24\sqrt{2}\).

Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Volumen einer Pyramide

 

\[A\,(0|0|0)\,, \enspace B\,(4|4|2)\,, \enspace C\,(8|0|2)\,, \enspace D\,(4|-4|0)\,, \enspace S\,(1|1|-4)\]

\[[AS] \perp ABCD\]

\[A_{ABCD} = 24\sqrt{2}\]

 

1. Lösungsansatz: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\)

Pyramide ABCDS mit [AS] ⊥ ABCD

Die Höhe einer Pyramide ist der Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Da die Kante \([AS]\) senkrecht auf der Grundfläche \(ABCD\) liegt, ist die Länge der Kante \([AS]\) die Höhe der Pyramide \(ABCDS\).

\[V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot \overline{AS}\]

 

Höhe der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:

\[\begin{align*} \overline{AS} &= \vert \overrightarrow{AS} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{S} - \overrightarrow{A} \vert & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{S} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{1^{2} + 1^{2} + (-4)^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{18} \\[0.8em] &= 3\sqrt{2} \end{align*}\]

 

Volumen der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:

 

\[\begin{align*} V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot \overline{AS} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \\[0.8em] &= 24 \cdot 2 \\[0.8em] &= 48 \end{align*}\]

 

Das Volumen der Pyramide \(ABCDS\) beträgt 48 VE (Volumeneinheiten).

 

2. Lösungsansatz: Spatprodukt anwenden

Pyramide ABCDS und volumengleiche Teilpyramiden ABDS und BCDS

Die linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AS}\) legen die Pyramide \(ABDS\) mit der Grundfläche \(ABD\) fest. Das Dreieck \(ABD\) und das Dreieck \(BCD\) sind zueinander kongruent und besitzen somit den gleichen Flächeninhalt. Die Strecke \([AS]\) ist die Höhe von der Pyramide \(ABDS\) und von der Pyramide \(BCDS\). Die Pyramiden \(ABDS\) und \(BCDS\) haben demnach den gleichen Volumeninhalt.

 

Das Volumen der Pyramide \(ABDS\) lässt sich mithilfe des Spatprodukts berechnen:

\[V_{ABDS} = \frac{1}{6} \cdot \left| \overrightarrow{AS} \circ \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \right|\]

 

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \enspace \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe 2a)

\(\overrightarrow{AS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\) (siehe 1. Lösungsansatz)

\[\begin{align*}V_{ABCDS} &= V_{ABDS} + V_{BCDS} \\[0.8em] &= 2 \cdot V_{ABDS} \\[0.8em] &= 2 \cdot  \cdot \frac{1}{6} \cdot \left| \overrightarrow{AS} \circ \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & \cdot & 0 & - & 2 & \cdot & (-4) \\ 2 & \cdot & 4 & - & 4 & \cdot & 0 \\ 4 & \cdot & (-4) & - & 4 & \cdot & 4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ -32 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \vert 1 \cdot 8 + 1 \cdot 8 + (-4) \cdot (-32) \vert \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot 144 \\[0.8em] &= 48 \end{align*}\]

 

Das Volumen der Pyramide \(ABCDS\) beträgt 48 VE (Volumeneinheiten).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a