Teilaufgabe 1a

In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.

Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen." berechnet werden kann. 

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, Binomialverteilung

 

In der Urne befinden sich insgesamt zehn Kugeln (vier rote und sechs blaue Kugeln).

Da eine gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird, ist die Wahrscheinlichkeit eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen jeweils konstant.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine rote Kugel gezogen wird beträgt:

\(\displaystyle P(\text{„rote Kugel"}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine blaue Kugel gezogen wird beträgt:

\(\displaystyle P(\text{„blaue Kugel"}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0{,}6\).

Das Ereignis „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen" bedeutet bei achtmaligem Ziehen, dass viermal eine rote und viermal eine blaue Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass viermal eine rote Kugel gezogen wird beträgt:

\(\displaystyle P(\text{„viermal rote Kugel"}) = 0{,}4^{4}\).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass viermal eine blaue Kugel gezogen wird beträgt:

\(\displaystyle P(\text{„viermal blaue Kugel"}) = 0{,}6^{4}\).

Das Ereignis „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen" legt keine Reihenfolge für die Ziehungen fest. Es müssen alle Möglichkeiten dafür berücksichtigt werden, in welcher Abfolge vier gezogene rote bzw. vier gezogene blaue Kugel auf acht Ziehungen verteilt sein können. Die Anzahl dieser Möglichkeiten beschreibt der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{8}{4}\).

\[P(\text{„gleich viele rote und blaue Kugeln"}) = \binom{8}{4} \cdot 0{,}4^{4} \cdot 0{,}6^{4}\]

 

Als Alternative kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\), welche die Anzahl der gezogenen roten Kugeln beschreibt, oder einer Zufallsgröße \(Y\), welche die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln beschreibt, betrachtet werden. Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(8;0{,}4)\) und die Zufallsgröße \(Y\) ist nach \(B(8;0{,}6)\) binomialverteilt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) bzw. die Zufallsgröße \(Y\) einen bestimmten Wert annimmt, lässt sich mit Hilfe der Formel von Bernoulli beschreiben.

\[\begin{align*}P(\text{„gleich viele rote und blaue Kugeln"}) &= P^{8}_{0{,}4}(X = 4) \\[0.8em] &= B(8;0{,}4;4) \\[0.8em] &= \binom{8}{4} \cdot 0{,}4^{4} \cdot (1 - 0{,}4)^{8 - 4} \\[0.8em] &= \binom{8}{4} \cdot 0{,}4^{4} \cdot 0{,}6^{4} \end{align*}\]

 

bzw.

 

\[\begin{align*}P(\text{„gleich viele rote und blaue Kugeln"}) &= P^{8}_{0{,}6}(Y = 4) \\[0.8em] &= B(8;0{,}6;4) \\[0.8em] &= \binom{8}{4} \cdot 0{,}6^{4} \cdot (1 - 0{,}6)^{8 - 4} \\[0.8em] &= \binom{8}{4} \cdot 0{,}6^{4} \cdot 0{,}4^{4} \end{align*}\]

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