Teilaufgabe 1c

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(p \colon x \mapsto 0{,}5 \cdot (x + 2)^2 - 0{,}5\), die die Nullstellen \(x = -3\) und \(x = -1\) hat.

Für \(x \in D_{f}\) gilt \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{p(x)}\).

Abbildung 1 zu Teilaufgabe 1c Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 1

Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitung \(f'\) und \(p'\) die Beziehung \(\displaystyle f'(x) = -\frac{p'(x)}{\big( p(x) \big)^2}\) für \(x \in D_{f}\).

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von \(f'(x)\) und \(p'(x)\), dass \(x = -2\) einzige Nullstelle von \(f'\) ist und dass \(G_{f}\) in \(]-3;-2[\) streng monoton steigend sowie in \(]-2;1[\) streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\) an.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Nachweis von Nullstelle, Monotonie und Extrempunkt mithilfe eines Funktionsterms/Funktionsgraphen

 

\[f(x) = \frac{1}{0{,}5 \cdot (x + 2)^{2} - 0{,}5}\,; \enspace D_{f} = \mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\]

\[p(x) = 0{,}5 \cdot (x + 2)^{2} - 0{,}5\,; \enspace D =\mathbb R\]

\[f(x) = \frac{1}{p(x)}\,; \enspace x \in D_{f}\]

\[f'(x) = - \frac{p'(x)}{\big(p(x) \big)^{2}}\,; \enspace x \in D_{f}\]

 

Nachweiß, dass \(x = -2\) einzige Nullstelle von \(f'\) ist

 

Verlauf des Graphen der Funktion pAbb. 1

Abbildung 1 zeigt, dass der Graph der quadratischen Funktion \(p\) an der Stelle \(x = -2\) einen Tiefpunkt besitzt. Da der Graph einer quadratischen Funktion genau einen Extrempunkt (Scheitelpunkt) hat, ist der Tiefpunkt an der Stelle \(x = -2\) einziger Extrempunkt von \(G_{p}\).

Der Scheitelpunkt kann auch direkt von dem Funktionsterms von \(p\) abgelesen werden, da dieser in der Scheitelpunktform vorliegt.

\[p(x) = 0{,}5 \cdot (x + 2)^{2} -0{,}5 \quad \Longrightarrow \quad S\,(-2|-0{,}5)\]

 

Da \(G_{p}\) an der (einzigen) Extremstelle \(x = -2\) eine waagrechte Tangente besitzt,  gilt: \(p'(-2) = 0\).

\[\Longrightarrow \quad f'(-2) = -\frac{p'(-2)}{\big( p(-2) \big)^{2}} = \frac{0}{\big( p(-2) \big)^{2}} = 0\]

 

Somit ist \(x = -2\) einzige Nullstelle von \(f'\).

 

Nachweiß des Monotonieverhaltens von \(G_{f}\)

 

Verlauf des Graphen der Funktion pAbb. 1

Gemäß Abbildung 1 gilt:

\(G_{p}\) ist in \(]-3;-2[\) streng monoton fallend.

\(G_{p}\) ist in \(]-2;-1[\) streng monoton steigend.

\(\Longrightarrow \quad p'(x) < 0\) für \(x \in \; ]-3;-2[\)

\(\Longrightarrow \quad p'(x) > 0\) für \(x \in \; ]-2;-1[\)

 

Mit \(\displaystyle f'(x) = - \frac{p'(x)}{\big(p(x) \big)^{2}}\) folgt daraus:

\(f'(x) > 0\) für \(x \in \; ]-3;-2[\)

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist in \(]-3;-2[\) streng monoton steigend.

 

\(f'(x) < 0\) für \(x \in \; ]-2;-1[\)

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist in \(]-2;-1[\) streng monoton fallend.

 

Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\)

 

Gemäß Angabe und Nachweis (siehe oben) gilt: \(f'(-2) = 0\). Damit ist die notwendige Bedingung für eine Extremum von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = -2\) erfüllt. Da zudem \(G_{f}\) in der Umgebung von \(x = -2\) das Monotonieverhalten von streng monoton steigend zu streng monoton fallend ändert bzw, \(f'\) das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt (hinreichende Bedingung), besitzt \(G_{f}\) an der Stelle \(x = -2\) ein relatives Maximum (einen Hochpunkt).

\[\left. \begin{align*} &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \; x \in \; ]-3;-2[ \\ &f'(x) = 0 \enspace \text{für} \; x = -2 \\ &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \; x \in \; ]-2;-1[ \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}, HoP \,(-2|f(-2))\]

 

\[f(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3}\, ; \enspace D_{f} = \mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\]

\[f(-2) = \frac{1}{-2 + 1} - \frac{1}{-2 + 3} = -1 - 1 = -2\]

\[\Longrightarrow \quad \text{Hochpunkt}, HoP \, (-2|-2)\]

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