Teilaufgabe 3a

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion \(h\) aus Aufgabe 2 beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet \(h(x)\) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und \(x\) die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt \(x\), zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

Lösung einer Exponentialgleichung

 

\[h(x) = \frac{3}{e^{x+1}-1}\,;\enspace x \geq 0\]

\[h(x) = 0{,}01\]

 

\[\begin{align*} h(x) &= \frac{3}{e^{x+1}-1} \\[0.8em] 0{,}01 &= \frac{3}{e^{x+1}-1} & &| \cdot \left( e^{x+1}-1 \right) \\[0.8em] 0{,}01 \cdot \left( e^{x+1}-1 \right) &= 3 & &| \cdot 100 \\[0.8em] e^{x+1}-1 &= 300 & &| +1 \\[0.8em] e^{x+1} &= 301 & &| \; \ln \enspace \text{bzw.}\enspace a^{x} = b \Leftrightarrow x = \log_{a}{b} \\[0.8em] x + 1 &= \ln{301} & &| - 1 \\[0.8em] x &= \ln{301} - 1 \\[0.8em] x &\approx 4{,}71 \end{align*}\]

 

\[4{,}71\,\text{min} = 4\,\text{min} + 0{,}71 \cdot 60\,\text{s} = 4\,\text{min} \,43\,\text{s}\]

 

Zum Zeitpunkt 4 Minuten und 43 Sekunden nach Beginn des Reinigungsvorgangs ist die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2c Teilaufgabe 3b »