Teilaufgabe 3c

Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{0}^{1} h(x)\,dx\), indem Sie den Zusammenhang \(\displaystyle \int_{0}^{1}h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1}k(x)\,dx\) verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

Bestimmtes Integral berechnen, Bedeutung im Sachzusammenhang

 

\[k(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\,; \enspace x \geq 0\]

\[\int_{0}^{1} h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1} k(x)\,dx\]

 

Berechnung eines Näherungswerts für \(\displaystyle \int_{0}^{1} h(x)\,dx\)

\[\int_{0}^{1} h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1} k(x)\,dx = K(1) - K(0)\]

 

Stammfunktion \(K\) der Funktion \(k\) bestimmen:

 

\[k(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\]

\[\begin{align*} K(x) &= 3 \cdot \left( \ln{\vert x + 1 \vert} - \ln{\vert x + 3 \vert} \right) -0{,}2x + C & &| \;x \geq 0 \\[0.8em] &= 3 \cdot \left( \ln{( x + 1)} - \ln{( x + 3 )} \right) -0{,}2x + C \end{align*}\]

 

Bestimmtes Integral berechnen:

 

\[\begin{align*} \int_{0}^{1} h(x)\,dx &\approx \int_{0}^{1} k(x)\,dx \\[0.8em] &= [K(x)]_{0}^{1} \\[0.8em] &= \left[ 3 \cdot \left( \ln{( x + 1)} - \ln{( x + 3 )} \right) -0{,}2x \right]_{0}^{1} \\[0.8em] &= 3\cdot (\ln{(1 + 1)} - \ln{(1 + 3)}) -0{,}2 \cdot 1 \\[0.8em] &- ( 3\cdot (\ln{(0 + 1)} - \ln{(0 + 3)}) -0{,}2 \cdot 0) \\[0.8em] &= 3\cdot (\ln{2} - \ln{4}) -0{,}2 - (3\cdot (\ln{1} - \ln{3})) \\[0.8em] &= 3 \cdot (\ln{2} - 2\ln{2}) - 0{,}2 + 3\ln{3} \\[0.8em] &= -3\ln{2} - 0{,}2 +3\ln{3} \\[0.8em] &\approx 1{,}02 \end{align*}\]

 

Bedeutung des Werts im Sachzusammenhang

 

Während der ersten Minute des Reinigungsvorgangs werden ungefähr 1,02 Gramm Schadstoffe abgebaut.

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