Mathematik Abitur Bayern 2015 B Analysis 2 - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe 1a

Der Graph \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto ax^4 + bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\,(0|0)\) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

\(W\,(1|-1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_{f}\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Werte von \(a\) und \(b\).

(Ergebnis: \(a = 1, b = -2\))

(4 BE)

Teilaufgabe 1c

Die Gerade \(g\) schneidet \(G_{f}\) in den Punkten \(W\) und \((2|0)\).

Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_{f}\) sowie die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden \(g\) an.

(4 BE)

Teilaufgabe 1d

\(G_{f}\) und die \(x\)-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade \(g\) in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen. 

(6 BE)

Teilaufgabe 2a

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_{n} \colon x \mapsto x^4 - 2x^n\) mit \(n \in \mathbb N\) sowie die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f_{0} \colon x \mapsto x^4 - 2\).

Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen \(f_{0}\), \(f_{1}\), \(f_{2}\) bzw. \(f_{4}\). Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen.

Abbildung 1 zu Teilaufgabe 2a Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 1
Abbildung 2 zu Teilaufgabe 2a Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 2
Abbildung 3 zu Teilaufgabe 2a Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 3
Abbildung 4 zu Teilaufgabe 2a Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 4

(4 BE)

Teilaufgabe 2b

Betrachtet werden nun die Funktionen \(f_{n}\) mit \(n > 4\). Geben Sie in Abhängigkeit von \(n\) das Verhalten dieser Funktionen für \(x \to +\infty\) und für \(x \to -\infty\) an.

(3 BE)

Teilaufgabe 3a

In der Lungenfunktionsdiagnostig spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle.

Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d.h. insbesondere, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion \(\displaystyle g \colon x \mapsto -\frac{\pi}{8} \sin \left( \frac{\pi}{2}t \right)\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R_{0}^{+}\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und \(g(t)\) die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion \(g\) beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.

Abbildung 5 zu Teilaufgabe 3a Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015

Abb. 5

Berechnen Sie \(g(1{,}5)\) und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Teilaufgabe 3b

Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe von Abbildung 5 plausibel.

(2 BE)

Teilaufgabe 3c

Berechnen Sie \(\displaystyle \int_{2}^{4} g(t)\,dt\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

(Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5)

(4 BE)

Teilaufgabe 3d

Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c in einem Koordinatensystem für \(0 \leq t \leq 8\) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

(3 BE)

Teilaufgabe 3e

Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus 4 Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.

Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an.

Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20 % höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form \(h \colon t \mapsto a \cdot \sin(b \cdot t)\) mit \(t \geq 0\) und \(b > 0\) beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von \(b\).

(4 BE)