Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Lage und Art eines Extrempunkts bestimmen

 

\[f(x) = x^{4} -2x^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\]

 

Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\)

 

Notwendige Bedingung für die Extremstelle von \(G_{f}\):

 

\[f'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) von \(f\) bilden:

\[\begin{align*} f(x) = x^{4} - 2x^{3} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= 4x^{3} - 6x^{2} \\[0.8em] &= x^{2} \cdot (4x - 6) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} f'(x) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad x^{2} \cdot (4x - 6) = 0 \end{align*}\]

 

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.

 

\[x = 0\]

Gemäß Angabe Aufgabe 1 ist \(O\,(0|0)\) ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, also ein Terrassenpunkt.

 

\[\begin{align*} 4x - 6 &= 0 & &| + 6 \\[0.8em] 4x &= 6 & &| : 4 \\[0.8em] x &= \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad \displaystyle x_{E} = \frac{3}{2}\) ist Extremstelle von \(G_{f}\).

 

\[\begin{align*}f(\textstyle{\frac{3}{2}}) &= \left( \frac{3}{2} \right)^{4} - 2 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{3} \\[0.8em] &= \frac{81}{16} - 2 \cdot \frac{27}{8} \\[0.8em] &= \frac{81}{16} - \frac{54}{8} \\[0.8em] &= \frac{81}{16} - \frac{108}{16} \\[0.8em] &= -\frac{27}{16} \approx -1{,}69\end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad \displaystyle \left( \frac{3}{2}| -\frac{27}{16}\right)\) ist Extrempunkt von \(G_{f}\).

 

Art des Extrempunkt von \(G_{f}\)

 

1. Lösungsansatz: Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) (Monotonieverhalten von \(G_{f}\))

\[x_{E} = \frac{3}{2}\]

\[f'(x) = \underset{>\,0}{x^{2}} \cdot (4x - 6)\]

 

Der Term \(4x - 6\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) in der Umgebung der Extremstelle \(x_{E} = \frac{3}{2}\).

 

\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x < \frac{3}{2} \\ &f'(\textstyle{\frac{3}{2}}) = 0 \\ &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x > \frac{3}{2} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}, \; TiP \left(\frac{3}{2}\bigg \vert-\frac{27}{16}\right)\]

 

2. Lösungsansatz: Art der Extrema mithilfe der zweiten Ableitung

Zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) bilden:

\[\begin{align*}f'(x) = 4x^{3} - 6x^{2} \quad \Longrightarrow \quad f''(x) = 12x^{2} - 12x\end{align*}\]

 

\[\begin{align*}f''(\textstyle{\frac{3}{2}}) &= 12 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{2} - 12 \cdot \left( \frac{3}{2} \right) \\[0.8em] &= 12 \cdot \frac{9}{4} - \frac{36}{2} \\[0.8em] &= \frac{108}{4} - \frac{72}{4} \\[0.8em] &= \frac{36}{4} = 9 \end{align*}\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'(\textstyle{\frac{3}{2}}) = 0 \\ &f''(\textstyle{\frac{3}{2}}) > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}, \; TiP \left(\frac{3}{2}\bigg \vert-\frac{27}{16}\right)\]

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