Teilaufgabe 1c

Die Gerade \(g\) schneidet \(G_{f}\) in den Punkten \(W\) und \((2|0)\).

Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_{f}\) sowie die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden \(g\) an.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Zeichnen eines Funktionsgraphen

 

\[f(x) = x^{4} - 2x^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\]

\[W(1|-1), (2|0) \in g\]

 

Zeichnung von \(G_{f}\) sowie der Geraden \(g\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse

 

Bisherige Ergebnisse aus den Teilaufgaben 1a und 1b:

Der Punkt \(O\,(0|0)\) ist Terrassenpunkt von \(G_{f}\).

Der Punkt \(W (1|-1)\) ist Wendepunkt von \(G_{f}\).

Der Punkt \(TiP \left( \frac{3}{2} \bigg \vert -\frac{27}{16} \right)\) ist Tiefpunkt von \(G_{f}\)

Verlauf des Graphen der Funktion f sowie der Geraden g

Verlauf des Graphen der Funktion \(f\) sowie der Geraden \(g\)

 

Gleichung der Geraden \(g\)

Anhand der beiden Punkte \(W (1|-1)\) und \((2|0)\) kann der Steigungsfaktor der Geraden \(g\) zu \(m = 1\) auf graphischem Wege entnommen werden. Der \(y\)-Achsenabschnitt \(t = -2\) lässt sich ebenfalls aus der Zeichnung ablesen.

 

\[\Longrightarrow \quad g \colon y = x - 2\]

 

Rechnerische Lösung:

 

\[W (1|-1), (2|0) \in g\]

\[m_{g} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0 - (-1)}{2 - 1} = 1\]

 

\[\Longrightarrow \quad g \colon y = x + t\]

 

\[\begin{align*} (2|0) \in g \colon 0 &= 2 + t & &| -2 \\[0.8em] -2 &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad g \colon y = x - 2\]

 

Oder mit der Punktsteigungsform der Geradengleichung von \(g\) und z.B. dem Punkt \(W(1|-1)\):

\[g \colon y = m \cdot (x -x_{W}) + y_{W}\]

 

\[m_{g} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0 - (-1)}{2 - 1} = 1\]

 

\[\begin{align*} g\colon y &= m \cdot (x -x_{W}) + y_{W} \\[0.8em] y &= 1 \cdot (x - 1) - 1 \\[0.8em] y &= x - 1 - 1 \\[0.8em] y &= x - 2 \end{align*}\]

 

Oder durch Aufstellen eines linearen Gleichungssystems:

\[g \colon y = mx + t\]

 

\[\begin{align*} W(1|-1) \in g \colon & & \text{I} & & -1 &= 1 \cdot m + 1 \\[0.8em] (2|0) \in g \colon & & \text{II} & & \wedge \quad 0 &= 2 \cdot m + t \\[2.4em] & & \text{II} - \text{I} & & 1 &= m \\[2.4em] & & m = 1 \; \textsf{in} \; \text{II} & & 0 &= 2 \cdot 1 + t & &| -2 \\[0.8em] & & & & -2 &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad g \colon y = x - 2\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1b Teilaufgabe 1d »