Teilaufgabe 1d

\(G_{f}\) und die \(x\)-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade \(g\) in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen. 

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Flächeninhaltsberechnung durch Integration

 

\[f(x) = x^{4} - 2x^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\]

 

Flächenstück, das der Graph der Funktion f und die x-Achse im IV. Quadranten einschließen und durch die Gerade g in zwei Teilflächen zerlegt wird.

Flächenstück, das \(G_{f}\) und die \(x\)-Achse im IV. Quadranten einschließen und durch die Gerade \(g\) in zwei Teilflächen mit den Flächeninhalten \(A_{1}\) und \(A_{2}\) zerlegt wird.

 

Um das Verhältnis der Flächeninhalte \(A_{1}\) und \(A_{2}\) der beiden Teilflächen zu berechnen, bestimmt man zunächst den Flächeninhalt \(A = A_{1} + A_{2}\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) und die \(x\)-Achse im IV. Quadranten einschließen. Anschließend berechnet man einen der Flächeninhalte \(A_{1}\) oder \(A_{2}\). Der Flächeninhalt der jeweils zweiten Teilfläche ergibt sich durch Subtraktion: \(A_{1} = A - A_{2}\) bzw. \(A_{2} = A - A_{1}\).

 

Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) und die \(x\)-Achse im IV. Quadranten einschließen

 

Flächeninhalt A des Flächenstücks, das der Graph der Funktion f und die x-Achse im IV. Quadranten einschließen.

 

\[A = \left| \int_{0}^{2} f(x)\,dx \right|\]

 

Da \(G_{f}\) im IV. Quadranten unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx\) negativ. Für die Berechnung des Flächeninhalts \(A\) wird deshalb der Betrag des Integrals gewählt. Es ist ebenso möglich das Integral \(\displaystyle -\int_{0}^{2} f(x)\,dx\) zu berechnen.

\[A = \left| \int_{0}^{2} f(x)\,dx \right| = \left| F(2) - F(0) \right|\]

 

Stammfunktion \(F\) von \(f\) bestimmen:

 

\[f(x) = x^{4} - 2x^{3}\]

\[F(x) = \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + C\]

 

Flächeninhalt \(A\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A &= \left| \int_{0}^{2} f(x)\,dx \right| \\[0.8em] &= \left| \int_{0}^{2} \left( x^{4} - 2x^{3} \right) dx \right| \\[0.8em] &= \left| \left[ \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} \right]_{0}^{2} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{1}{5} \cdot 2^{5} - \frac{1}{2} \cdot 2^{4} - \left( \frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{2} \cdot 0^{4} \right) \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{32}{5} - 8 - 0 \right| \\[0.8em] &= \left| -1{,}6 \right| \\[0.8em] &= 1{,}6 \end{align*}\]

 

Flächeninhalt \(A_{1}\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) und die Gerade \(g\) mit der \(x\)-Achse einschließen

 

Die senkrechte Geraden x = 1 durch den Wendepunkt W teilt den Flächeninhalt A₁

Die senkrechte Gerade \(x = 1\) durch den Wendepunkt \(W(1|-1)\) teilt das Flächenstück mit den Flächeninhalt \(A_{1}\). Der Flächeninhalt \(A_{1}\) setzt sich aus dem Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_{f}\) im IV. Quadranten mit der \(x\)-Achse und der Gerade \(x = 1\) einschließt sowie dem Flächeninhalt des Dreiecks \(WSP\) zusammen.

\[A_{1} = \left| \int_{0}^{1} f(x) \, dx \right| + A_{WSP}\]

 

Stammfunktion \(F\) der Funktion \(f\):

 

\(F(x) = \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + C\) (siehe oben, Flächeninhalt \(A\))

 

Flächeninhalt \(A_{1}\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A_{1} &= \left| \int_{0}^{1} f(x) \, dx \right| + A_{WSP} \\[0.8em] &= \left| \int_{0}^{1} \left( x^{4} - 2x^{3} \right)dx \right| + A_{WSP} \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} \right]_{0}^{1} + A_{WSP} \\[0.8em] &= \left| \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{2} \cdot 1^{4} - 0 \right| + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \\[0.8em] &= \left| \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \right| + \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \left| \frac{2}{10} - \frac{5}{10} \right| + \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \left| -\frac{3}{10} \right| + \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \frac{3}{10} + \frac{5}{10} \\[0.8em] &= \frac{8}{10} \\[0.8em] &= 0{,}8 \end{align*}\]

 

Flächeninhalt \(A_{2}\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) und die Gerade \(g\) im IV. Quadranten einschließen

 

1. Möglichkeit: Dreieck \(WSP\) berücksichtigen

 

Die senkrechte Geraden x = 1 durch den Wendepunkt W teilt den Flächeninhalt A₁

Der Flächeninhalt \(A_{2}\) ergibt sich aus dem Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x = 2\) einschließt, abzüglich dem Flächeninhalt des Dreiecks \(WSP\).

\[A_{2} = \left| \int_{1}^{2} f(x) \, dx \right| - A_{WSP}\]

 

Stammfunktion \(F\) der Funktion \(f\):

 

\(F(x) = \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + C\) (siehe oben, Flächeninhalt \(A\))

 

Flächeninhalt \(A_{2}\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A_{2} &= \left| \int_{1}^{2} f(x)\,dx \right| - A_{WSP} \\[0.8em] &= \left| \int_{1}^{2} \left( x^{4} - 2x^{3} \right) dx \right| - A_{WSP} \\[0.8em] &= \left| \left[ \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} \right]_{1}^{2} \right| - A_{WSP} \\[0.8em] &= \left| \frac{1}{5} \cdot 2{5} - \frac{1}{2} \cdot 2^{4} - \left( \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{2} \cdot 1^{4} \right) \right| - \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \left| \frac{32}{5} - \frac{16}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \left| \frac{64}{10} - \frac{80}{10} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10} \right| - \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \left| -\frac{13}{10} \right| - \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \frac{13}{10} - \frac{5}{10} \\[0.8em] &= \frac{8}{10} \\[0.8em] &= 0{,}8 \end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Differenzfunktion \(d = g - f\) integrieren

 

Flächeninhalt A₂ des Flächenstücks, das die Gerade g und der Graph der Funktion f im IV. Quadranten einschließen.

Die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte \(W\,(1|-1)\) und \((2|0)\) von \(G_{f}\) und der Geraden \(g\) bilden die Integrationsgrenzen für den zu berechnenden Flächeninhalt \(A_{2}\) des Flächenstücks, das die Gerade \(g\) und \(G_{f}\) im IV. Quadranten einschließen.

\[A_{2} = \int_{1}^{2} [g(x) - f(x)]dx\]

 

Differenzfunktion \(d = g - f\) bilden:

 

\(g(x) = x - 2\) (siehe Teilaufgabe 1c)

\[f(x) = x^{4} - 2x^{3}\]

 

\[\begin{align*}d(x) &= g(x) - f(x) \\[0.8em] &= x - 2 - \left( x^{4} - 2x^{3}\right) \\[0.8em] &= -x^{4} + 2x^{3} + x - 2 \end{align*}\]

 

Stammfunktion \(D\) der Differenzfunktion \(d\) bestimmen:

 

\[d(x) = -x^{4} + 2x^{3} + x - 2\]

\[D(x) = -\frac{1}{5}x^{5} + \frac{1}{2}x^{4} + \frac{1}{2}x^{2} - 2x + C\]

 

Flächeninhalt \(A_{2}\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A_{2} &= \int_{1}^{2} [g(x) - f(x)]dx \\[0.8em] &= \int_{1}^{2}\left( -x^{4} + 2x^{3} + x - 2 \right) dx \\[0.8em] &= \left[ -\frac{1}{5}x^{5} + \frac{1}{2}x^{4} + \frac{1}{2}x^{2} - 2x \right]_{1}^{2} \\[0.8em] &= -\frac{1}{5} \cdot 2^{5} + \frac{1}{2} \cdot 2^{4} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 \\[0.8em] &- \left( -\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{2} \cdot 1^{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 \right) \\[0.8em] &= -\frac{32}{5} + 8 + 2 - 4 - \left( -\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 2 \right) \\[0.8em] &= -0{,}4 - (-1{,}2) \\[0.8em] &= 0{,}8 \end{align*}\]

 

Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Teilflächen

 

\[\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{A_{1}}{A - A_{1}} = \frac{0{,}8}{1{,}6 - 0{,}8} = \frac{0{,}8}{0{,}8} = \frac{1}{1}\]

\[\Longrightarrow \quad A_{1} = A_{2}\]

oder

\[\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{A - A_{2}}{A_{2}} = \frac{1{,}6 - 0{,}8}{0{,}8} = \frac{0{,}8}{0{,}8} = \frac{1}{1}\]

\[\Longrightarrow \quad A_{1} = A_{2}\]

 

Die Gerade \(g\) teilt das Flächenstück, das \(G_{f}\) und die \(x\)-Achse im IV. Quadranten einschließen, in zwei gleich große Teilflächen. 

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 2a »