Teilaufgabe 2a

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Funktionsgraphen zuordnen

\[f_{n}(x) = x^{4} - 2x^{n}\,; \enspace D = \mathbb R\,, \enspace n \in \mathbb N\]

\[f_{0} = x^{4} - 2\,; \enspace D = R\]

1. Möglichkeit: Funktionsgraphen den Funktionstermen zuordnen

Funktionsterme formulieren:

\[f_{1}(x) = x^{4} -2x = x\cdot (x^{3} - 2)\]

\[f_{2}(x) = x^{4} - 2x^{2} = x^{2} \cdot (x^{2} - 2)\]

\[f_{4}(x) = x^{4} - 2x^{4} = -x^{4}\]

Mögliche Argumentationskette:

Abbildung 4 zeigt einen Funktionsgraphen, der als einziger nicht durch den Ursprung verläuft, sondern die \(y\)-Achse im Negativen schneidet.

\[f_{1}(0) = f_{2}(0) = f_{4}(0) = 0\]

\[f_{0}(0) = -2\,; \enspace S_{y}\,(0|-2)\]

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 4 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{0}}\).

Von den drei verbleibenden Abbildungen zeigt Abbildung 2 einen Funktionsgraphen, der als einziger eine vierfache Nullstelle im Ursprung besitzt bzw. der als einziger für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) verläuft.

\[\begin{align*}f_{4}(x) &= 0 \\[0.8em] -x^{4} &= 0 \\[0.8em] x &= 0\end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad x = 0\) ist vierfache Nullstelle des Graphen der Funktion \(f_{4}\).

bzw.

\[\lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} f_{4}(x) = \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} -x^{4} = -\infty\]

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 2 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{4}}\).

Von den zwei verbleibenden Abbildungen zeigt Abbildung 1 einen Funktionsgraphen, der als einziger symmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft bzw. der als einziger eine doppelte Nullstelle im Ursprung und zwei einfache Nullstellen besitzt.

\[f_{2}(-x) = (-x)^{4} - 2 \cdot (-x)^{2} = x^{4} - 2x^{2} = f_{2}(x)\]

\(\Longrightarrow \quad\)Der Graph der Funktion \(f_{2}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

Alternative Argunemtation: Der Graph der Funktion \(f_{2}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, weil der Funktionsterm der ganzrationalen Funktion \(f_{2}\) ausschließlich aus Potenzen mit geraden Exponenten besteht.

bzw.

\[\begin{align*}f_{2}(x) &= 0 \\[0.8em] x^{2} \cdot (x^{2} - 2) &= 0\end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad x = 0\) ist doppelte Nullstell und \(x = -\sqrt{2}\) sowie \(x = \sqrt{2}\) sind einfache Nullstellen des Graphen der Funktion \(f_{2}\).

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 1 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{2}}\).

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 3 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{3}}\) (Ausschlussprinzip).

2. Möglichkeit: Funktionsterme den Funktionsgraphen zuordnen

Funktionsterme formulieren:

\[f_{1}(x) = x^{4} -2x = x\cdot (x^{3} - 2)\]

\[f_{2}(x) = x^{4} - 2x^{2} = x^{2} \cdot (x^{2} - 2)\]

\[f_{4}(x) = x^{4} - 2x^{4} = -x^{4}\]

Mögliche Argumentationskette:

\[f_{4}(x) = -x^{4}\]

Der Graph der Funktion \(f_{4}\) geht durch Spiegelung des Graphen der Funktion \(x \mapsto x^{4}\) an der \(x\)-Achse hervor.

Der Wertebereich der Funktion \(f_{4}\) ist \(W = \mathbb R_{0}^{-}\).

\[\lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} -x^{4} = - \infty\]

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 2 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{4}}\).

\[f_{0}(x) = x^{4} - 2\]

Der Graph der Funktion \(f_{0}\) ist symmetrisch zur \(y\)-Achse, da der Funktionsterm \(f_{4}(x)\) ausschließlich Potenzen mit geradem Exponenten enthält.

\[f_{0}(-x) = (-x)^{4} - 2 0 x^{4} - 2 = f_{0}(x)\]

Der Graph der Funktion \(f_{0}\) geht aus dem Graphen der Funktion \(x \mapsto x^{4}\) durch Verschiebung um -2 in \(y\)-Richtung hervor.

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 4 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{0}}\).

\[f_{1}(x) = x^{4} - 2x = x \cdot (x^{3} - 2)\]

Der Graph der Funktion \(f_{1}\) besitzt die beiden einfachen Nullstellen \(x = 0\) und \(x = \sqrt[3]{2}\).

Der Graph der ganzrationalen Funktion \(f_{1}\) zeigt kein Symmetrieverhalten, da der Funktionsterm \(f_{1}(x)\) sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält.

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 3 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{1}}\).

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 1 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{2}}\) (Ausschlussprinzip).

oder

\[f_{2}(x) = x^{4} - 2x^{2} = x^{2} \cdot (x^{2} - 2)\]

Der Graph der Funktion \(f_{2}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da der Funktionsterm \(f_{2}(x)\) ausschließlich Potenzen mit geradem Exponenten enthält.

\[f_{2}(-x) = (-x)^{4} - 2 \cdot (-x)^{2} = x^{4} - 2x^{2} = f_{2}(x)\]

Der Graph der Funktion \(f_{2}\) besitzt die beiden einfachen Nullstellen \(x = -\sqrt{2}\) und \(x = \sqrt{2}\) sowie die doppelte Nullstelle \(x = 0\).

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 1 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{2}}\).

\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 3 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{1}}\) (Ausschlussprinzip).