Lösung zu Teilaufgabe 2a
Funktionsgraphen zuordnen
\[f_{n}(x) = x^{4} - 2x^{n}\,; \enspace D = \mathbb R\,, \enspace n \in \mathbb N\]
\[f_{0} = x^{4} - 2\,; \enspace D = R\]
1. Möglichkeit: Funktionsgraphen den Funktionstermen zuordnen
Funktionsterme formulieren:
\[f_{1}(x) = x^{4} -2x = x\cdot (x^{3} - 2)\]
\[f_{2}(x) = x^{4} - 2x^{2} = x^{2} \cdot (x^{2} - 2)\]
\[f_{4}(x) = x^{4} - 2x^{4} = -x^{4}\]
Mögliche Argumentationskette:
Abbildung 4 zeigt einen Funktionsgraphen, der als einziger nicht durch den Ursprung verläuft, sondern die \(y\)-Achse im Negativen schneidet.
\[f_{1}(0) = f_{2}(0) = f_{4}(0) = 0\]
\[f_{0}(0) = -2\,; \enspace S_{y}\,(0|-2)\]
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 4 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{0}}\).
Von den drei verbleibenden Abbildungen zeigt Abbildung 2 einen Funktionsgraphen, der als einziger eine vierfache Nullstelle im Ursprung besitzt bzw. der als einziger für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) verläuft.
\[\begin{align*}f_{4}(x) &= 0 \\[0.8em] -x^{4} &= 0 \\[0.8em] x &= 0\end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad x = 0\) ist vierfache Nullstelle des Graphen der Funktion \(f_{4}\).
bzw.
\[\lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} f_{4}(x) = \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} -x^{4} = -\infty\]
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 2 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{4}}\).
Von den zwei verbleibenden Abbildungen zeigt Abbildung 1 einen Funktionsgraphen, der als einziger symmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft bzw. der als einziger eine doppelte Nullstelle im Ursprung und zwei einfache Nullstellen besitzt.
Symmetrieverhalten
Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen
\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse
\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung
\[f_{2}(-x) = (-x)^{4} - 2 \cdot (-x)^{2} = x^{4} - 2x^{2} = f_{2}(x)\]
\(\Longrightarrow \quad\)Der Graph der Funktion \(f_{2}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse
Alternative Argunemtation: Der Graph der Funktion \(f_{2}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, weil der Funktionsterm der ganzrationalen Funktion \(f_{2}\) ausschließlich aus Potenzen mit geraden Exponenten besteht.
bzw.
\[\begin{align*}f_{2}(x) &= 0 \\[0.8em] x^{2} \cdot (x^{2} - 2) &= 0\end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad x = 0\) ist doppelte Nullstell und \(x = -\sqrt{2}\) sowie \(x = \sqrt{2}\) sind einfache Nullstellen des Graphen der Funktion \(f_{2}\).
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 1 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{2}}\).
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 3 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{3}}\) (Ausschlussprinzip).
2. Möglichkeit: Funktionsterme den Funktionsgraphen zuordnen
Funktionsterme formulieren:
\[f_{1}(x) = x^{4} -2x = x\cdot (x^{3} - 2)\]
\[f_{2}(x) = x^{4} - 2x^{2} = x^{2} \cdot (x^{2} - 2)\]
\[f_{4}(x) = x^{4} - 2x^{4} = -x^{4}\]
Mögliche Argumentationskette:
\[f_{4}(x) = -x^{4}\]
Spiegeln von Funktionsgraphen
Spiegeln von Funktionsgraphen
Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(g(x) = -f(x)\)
Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(h(x) = f(-x)\)
Der Graph der Funktion \(f_{4}\) geht durch Spiegelung des Graphen der Funktion \(x \mapsto x^{4}\) an der \(x\)-Achse hervor.
Der Wertebereich der Funktion \(f_{4}\) ist \(W = \mathbb R_{0}^{-}\).
\[\lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} -x^{4} = - \infty\]
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 2 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{4}}\).
\[f_{0}(x) = x^{4} - 2\]
Symmetrieverhalten
Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen
\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse
\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung
Der Graph der Funktion \(f_{0}\) ist symmetrisch zur \(y\)-Achse, da der Funktionsterm \(f_{4}(x)\) ausschließlich Potenzen mit geradem Exponenten enthält.
\[f_{0}(-x) = (-x)^{4} - 2 0 x^{4} - 2 = f_{0}(x)\]
Verschieben von Funktionsgraphen
Verschieben von Funktionsgraphen
\[g(x) = f(x +a) + b\]
Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)
Der Graph der Funktion \(f_{0}\) geht aus dem Graphen der Funktion \(x \mapsto x^{4}\) durch Verschiebung um -2 in \(y\)-Richtung hervor.
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 4 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{0}}\).
\[f_{1}(x) = x^{4} - 2x = x \cdot (x^{3} - 2)\]
Der Graph der Funktion \(f_{1}\) besitzt die beiden einfachen Nullstellen \(x = 0\) und \(x = \sqrt[3]{2}\).
Der Graph der ganzrationalen Funktion \(f_{1}\) zeigt kein Symmetrieverhalten, da der Funktionsterm \(f_{1}(x)\) sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält.
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 3 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{1}}\).
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 1 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{2}}\) (Ausschlussprinzip).
oder
\[f_{2}(x) = x^{4} - 2x^{2} = x^{2} \cdot (x^{2} - 2)\]
Symmetrieverhalten
Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen
\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse
\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung
Der Graph der Funktion \(f_{2}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da der Funktionsterm \(f_{2}(x)\) ausschließlich Potenzen mit geradem Exponenten enthält.
\[f_{2}(-x) = (-x)^{4} - 2 \cdot (-x)^{2} = x^{4} - 2x^{2} = f_{2}(x)\]
Der Graph der Funktion \(f_{2}\) besitzt die beiden einfachen Nullstellen \(x = -\sqrt{2}\) und \(x = \sqrt{2}\) sowie die doppelte Nullstelle \(x = 0\).
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 1 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{2}}\).
\(\boldsymbol{\Longrightarrow \quad}\) Abb. 3 zeigt den Graphen der Funktion \(\boldsymbol{f_{1}}\) (Ausschlussprinzip).