Teilaufgabe 3c

Berechnen Sie \(\displaystyle \int_{2}^{4} g(t)\,dt\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

(Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5)

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

Bestimmtes Integral berechnen, Bedeutung im Sachzusammenhang

 

\[g(t) = -\frac{\pi}{8} \sin \left( \frac{\pi}{2}t \right)\,; \enspace D = \mathbb R_{0}^{+}\]

 

Berechnung von \(\displaystyle \int_{2}^{4}g(t)\,dt\)

\[\int_{2}^{4}g(t)\,dt = G(4) - G(2)\]

 

Stammfunktion \(G\) der Funktion \(g\) bestimmen:

\[g(t) = -\frac{\pi}{8} \sin \left( \frac{\pi}{2}t \right)\]

 

\[\begin{align*}G(t) &= -\frac{\pi}{8} \cdot \frac{1}{\frac{\pi}{2}} \cdot \left( -\cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) \right) + C \\[0.8em] &= \frac{\pi}{8} \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) + C \\[0.8em] &= \frac{1}{4}\cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) + C \end{align*}\]

 

Bestimmtes Integral berechnen:

 

\[\begin{align*} \int_{2}^{4}g(t)\,dt &= \left[ G(t) \right]_{2}^{4} \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{4}\cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) \right]_{2}^{4} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left[\cos\left( \frac{\pi}{2}t \right) \right]_{2}^{4} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left[ \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot 4 \right) - \cos\left( \frac{\pi}{2} \cdot 2 \right) \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left[ \cos(2\pi) - \cos(\pi)\right] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot [1 - (-1)] \\[0.8em] &= 0{,}5 \end{align*}\]

 

Bedeutung des Werts des Integrals im Sachzusammenhang

 

Flächenstück, das der Graph der Funktion g für t ∈ [2;4] mit der x-Achse einschließt. 

Für \(t \in \; ]2;4[\) verläuft der Graph der Funktion \(g\) oberhalb der \(t\)-Achse. Demnach atmet die Testperson während der Zeit zwischen der zweiten und vierten Sekunde seit Beobachtungsbeginn ein (siehe Angabe Aufgabe 3). Das Integral \(\displaystyle \int_{2}^{4} g(t)\,dt\) errechnet das Luftvolumen, welches die Testperson während dieser zwei Sekunden einatmet.

Also bedeutet der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{4} g(t)\,dt = 0{,}5\), dass die Testperson in der Zeit von der zweiten bis zur vierten Sekunde seit Beobachtungsbeginn 0,5 Liter Luft einatmet.

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