Teilaufgabe 3e

Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus 4 Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.

Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an.

Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20 % höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form \(h \colon t \mapsto a \cdot \sin(b \cdot t)\) mit \(t \geq 0\) und \(b > 0\) beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von \(b\).

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3e

 

Allgemeine Sinusfunktion, Parameterwert bestimmen

 

\[h(t) = a \cdot \sin(b \cdot t)\,; \enspace t \geq 0\,, \enspace b > 0\]

 

Atemfrequenz der Testperson

 

Laut der Angabe wird die Anzahl der Atemzyklen pro Minute als Atemfrequenz bezeichnet. Ein vollständiger Atemzyklus (Einatmen und Ausatmen) der Testperson dauert vier Sekunden.

\[\frac{60\;\sf{s}}{4 \;\sf{s}} = 15\]

Die Atemfrequenz der Testperson ist 15.

 

Wert von \(b\)

 

20 % höhere Atemfrequenz des jüngeren Menschen:

\[15 \cdot 1{,}2 = 18\]

 

Vollständiger Atemzyklus des jüngeren Menschen:

\[\frac{60\;\sf{s}}{18} = \frac{10}{3}\;\sf{s}\]

 

Ein vollständiger Atemzyklus des jüngeren Menschen entspricht der Periode der Sinusfunktion \(h\), welche die Atemstromstärke des jüngeren Menschen beschreiben soll.

\[h(t) = a \cdot \sin(b \cdot t)\,; \enspace t \geq 0\,, \enspace b > 0\]

\[p = \frac{10}{3}\]

Für die Periode \(p\) der allgemeinen Sinusfunktion gilt: \(\displaystyle p = \frac{2\pi}{\vert b \vert}\)

 

\[\begin{align*}p &= \frac{2\pi}{\vert b \vert} & &| \; b > 0 \\[0.8em] \Longleftrightarrow \quad b &= \frac{2\pi}{p} \\[0.8em] &= \frac{2\pi}{\frac{10}{3}} \\[0.8em]  &= \frac{6\pi}{10} \\[0.8em] &= \frac{3}{5}\pi\end{align*}\]

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